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数学における位相幾何学（いそうきかがく、, トポロジー）は、「位置」（）の「学問」（）に由来し、与えられた集合を位相空間とするような開集合に関して研究する。この分野では連続変形（伸ばしたり曲げたりすることはできるが切ったり貼ったりはしない）によって保たれる空間の性質に関心がもたれる。位相幾何学的性質において重要なものには、連結性およびコンパクト性などが挙げられる〔http://dictionary.reference.com/browse/topology〕。 位相幾何学は、空間、次元、変換といった概念の研究を通じて、幾何学および集合論から生じた分野である〔http://www.math.wayne.edu/~rrb/topology.html〕。このような考え方は、17世紀に「位置の幾何」（）および「位置の解析」（）を見越したゴットフリート・ライプニッツにまで遡れる。レオンハルト・オイラーの「ケーニヒスベルクの七つの橋」の問題および多面体公式がこの分野における最初の定理であるというのが定説となっている。用語 ''topology'' は19世紀にによって導入されたが、位相空間の概念が起こるのは20世紀の最初の10年まで待たねばならない。20世紀中ごろには、位相幾何学は数学の著名な一分野となっていた。 位相幾何学には様々な分科が存在する。 * 位相空間論 (''General topology'') は位相の基礎となる側面を確立し、位相空間の性質を研究し、位相空間特有の概念について研究する。これには他のあらゆる分野で用いられる基本的な位相的概念（コンパクト性や連結性などの話題を含む）を扱う点集合位相 (point-set topology) も含まれる。 * 代数的位相幾何学は、ホモロジー群やホモトピー群などの代数的構成を用いて連結性の度合いを測ることを試みる。 * 微分位相幾何学は可微分多様体上のを扱う分野である。微分幾何学とも近しい関係にあり、これらを合わせて可微分多様体の幾何学的理論が構築される。 * は主として多様体およびそれらの別の多様体への埋め込みについて研究する。特に活発なのが、四次元（以下）の多様体について調べるであり、これにはについて研究する結び目理論も含まれる。 ==歴史== ユークリッド幾何学が紀元前にはできていたことと比較すると、オイラーやガウスに始まる位相幾何学は高々 250 年の歴史であり、大きな差がある。オイラーは、いわゆるオイラーの多面体定理において球面に連続的に変形できるような多面体の辺・頂点・面の数の間にある関係が成り立つことを見出したが、これをもって位相幾何学の始まりとするのが一般的である。 多面体の頂点、辺、面の数を各々 とおくと、これらが の関係にあるとするオイラーの定理は、18 世紀当時の解析学、代数学を中心とする数学の流れにおいて孤立した結果であった。19 世紀にガウスは絡み目数を線積分により表示する公式を与え、また後半紀にリーマンが現在リーマン面と呼ばれる概念を提出し、ロッホは曲面の上の 2 つの偏微分方程式の解の自由度の差を曲面の種数を含む数と同定するリーマン・ロッホの定理をまとめた。これら前駆的研究に対して、トポロジーがひとつの分野として確立する契機となったのは 1900 年前後のポワンカレの一連の研究による〔「トポロジーとその「応用」の可能性」古田幹雄（応用数理 15(1) pp.49-52 20050325） 〕。 ポワンカレは 1895 年の論文「」の中で、ホモトピーおよびホモロジーの概念を導入した。これらはいまや代数的位相幾何学の大きな柱であると考えられている。 現代的な位相幾何学は 19 世紀に後半に確立された集合論を大きな基盤として成り立っている。集合論の祖のひとりであるゲオルク・カントールはフーリエ級数の研究に際してユークリッド空間内の点集合について考察している。 カントール、ボルテラ、アルツェラ、アダマール、アスコリらの研究を取りまとめる形で（今日では一般的な位相空間の特別の場合であると考えられている）距離空間の概念を確立したのはフレシェで、1906 年のことである。「位相空間」という用語を導入したのはハウスドルフで、1914 年に今日ではハウスドルフ空間と呼ばれる概念を定義するために用いられたものであるが、その一般化として現代的な意味での位相空間という概念が確立されるのは 1922 年、クラトフスキーの手による。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「位相幾何学」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Topology 」があります。 スポンサード リンク
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