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数学における位相空間（いそうくうかん, ）とは、集合にある種の情報（位相、）を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。 位相空間論は位相空間の諸性質を研究する数学の分野である。 ==概要== 位相空間は、前述のように集合にある種の情報（位相）を付け加えたもので、この情報により、例えば以下の概念が定義可能となる * 部分集合の内部、外部、境界 * 点の近傍 * 点列の収束 * 連結性 * 位相空間から位相空間への写像の連続性 * 開集合、閉集合、閉包 これらの概念の多くは元々距離空間のような幾何学的な対象に対して定義されたものだが、位相空間としての性質を満たしさえすれば、解析学や代数学の研究対象に対してもこれらの概念を定義できることに位相空間の概念の利点の一つがある。 これにより、位相空間の概念は、幾何学はもちろん解析学や代数学でも応用されており、位相空間論はこうした数学の諸分野の研究の基礎を与える。 別の言い方をすると、位相空間の概念の利点の一つは、解析学や代数学などの研究対象に幾何学的な直観を与えることにある。 このような観点からみたとき、位相空間論の目標の一つは、ユークリッド空間など幾何学の対象に対して成り立つ諸性質を解析学などにも一般化することにある。 従って特に学部レベルにおいては、位相空間論で考える性質の多くは、ユークリッド空間などの幾何学的な対象では自明に成り立つ(例えば各種分離公理や可算公理)。 こうした幾何学的な性質をいかに抽象化してより一般の空間へと拡張するかが位相空間論では問われる。 位相空間の概念自身は非常に弱く、かつ抽象的に定義されているため、数学の様々な分野で広く応用可能である。 しかしその分個別の用途では必要な性質が満たされないこともあり、例えば位相空間では必ずしも点列の収束の一意性は保証されない。そこで必要に応じて、位相空間にプラスアルファの性質を付け加えたものが研究対象になることも多い。前述した収束の一意性は、位相空間に「ハウスドルフ性」という性質を加えると成立する。学部レベルの位相空間論の目標の一つは、こうしたプラスアルファの性質の代表的なものを学ぶ事にある。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「位相空間」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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