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数学において体上の代数または多元環（たげんかん、）は、双線型な乗法を備えたベクトル空間である。これはつまり、ベクトル空間とその上の乗法と呼ばれる二項演算、即ち二つのベクトルから第三のベクトルを作り出す操作とからなる代数的構造であって、これが多元環と呼ばれるためにはこの乗法がベクトル空間の構造と適当な両立性公理（分配律など）を満足する必要がある。別な言い方をすれば、体上の多元環とは、その上の加法と乗法および体の元によるスカラー乗法とを演算として備えた集合である〔See also Hazewinkel et. al. (2004), .〕。 スカラーを選ぶ体を可換環に取り換えれば、体上の多元環の一般化として環上の多元環の概念を得る。 文献によっては、単に「多元環」（あるいは「代数」）と言えば単位的結合多元環を指すというようなものもあるが、本項ではそのような制限は仮定しない。 == 定義と動機付け == === 簡単な例 === 任意の複素数は、実数 ''a'', ''b'' と虚数単位 ''i'' に対する ''a'' + ''bi'' の形に書くことができる。言葉を変えれば、複素数は実数体上のベクトル (''a'', ''b'') として表現される。故に ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' を実数として、加法 およびスカラー乗法 に関して複素数の全体は二次元の実ベクトル空間を成す。ここで、二つのベクトルの積を記号 "·" で表すことにすれば、複素数の積は によって定義される。 以下の主張は複素数の基本性質である。ここで x, y, z は複素数、 ''a'', ''b'' は実数を表すものとする。 * 複素数の乗法は複素数の加法に対して分配的である: (x + y) · z = (x · z) + (y · z)。 * 複素数の乗法は実数によるスカラー乗法と可換である: (ax) · (by) = (ab)(x · y)。 この例は、次節における体 ''K'' として実数全体の成す体 R をとり、ベクトル空間 ''A'' として複素数の全体を考えたときに適合する。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「体上の多元環」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Algebra over a field 」があります。 スポンサード リンク
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