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群論において、単純リー群 (simple Lie group) は連結非可換リー群 ''G'' であって非自明な連結正規部分群を持たないものである。 単純リー環 (simple Lie algebra) は非可換リー環であってイデアルが 0 と自身しかないものである。単純リー環の直和は半単純リー環と呼ばれる。 単純リー群の同値な定義がから従う：連結リー群はリー環が単純であれば単純である。重要な技術的点は、単純リー群は''離散的な''正規部分群を含むかもしれず、したがって単純リー群であることは抽象群として単純であることとは異なるということである。 単純リー群は多くのを含む。古典型リー群は球面幾何学、射影幾何学、フェリックス・クラインのエルランゲンプログラムの意味で関連する幾何学の群論的支柱を提供する。どんなよく知られた幾何学にも対応しない可能性もいくつか存在することが単純リー群のの過程で現れた。これらの''例外群'' (exceptional group) により数学の他の分野や当時の理論物理学の多くの特別な例や configuration が説明される。 単純リー群の概念は公理的観点からは十分であるが、の理論のようなリー理論の応用において、幾分一般的な概念である半単純およびリー群がもっと有用であるであることが証明されている。とくに、すべての連結は簡約であり、一般の簡約群の表現の研究は表現論の主要な分野である。 ==定義についてのコメント== 不運なことに単純リー群の標準的な定義はただ1つではない。上の定義は以下のように変わることがある： *連結性：通常単純リー群は定義により連結である。これにより離散的単純群（これらは抽象群として単純な 0 次元リー群である）や不連結ば直交群が除外される。 *中心：通常単純リー群は離散的な中心を持ってもよい；例えば、 は位数 2 の中心を持つが、なお単純リー群としてカウントされる。中心が非自明である（そして群全体でない）ならば単純リー群は抽象群として単純ではない。著者によっては単純リー群の中心が有限である（あるいは自明である）ことを要請する；SL(2, R) の普遍被覆は中心が無限の単純リー群の例である。 *R：通常実数全体のなす加法群 R（およびその商群 R/Z）は、連結かつ0でない真のイデアルを持たないリー環を持つにも関わらず、単純リー群としてはカウントされない。場合によっては著者は R が単純であるように単純リー群を定義することもあるが、これはこの場合を見過ごすことによって起きた事故であることもあるようである。 *行列群：著者によっては有限次行列の群として表せるリー群に制限することがある。はこのように表せない単純リー群の例である。 *複素リー環：単純リー環の定義は''係数拡大''で安定ではない。sl(''n'', C) のような複素単純リー環のは半単純だが単純でない。 最も一般的な定義は上のものである：単純リー群は連結でなくてはならず、非自明な中心（無限でもよい）を持ってもよく、有限次行列によって表せなくてもよく、非可換でなければならない。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「単純リー群」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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