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関手（かんしゅ、）とは、圏論における圏から圏への対応でその構造と両立するようなものである。関手によって一つの数学体系から別の体系への組織的な対応が定式化される。関手は「圏の圏」における射と考えることもできる。 関手の概念の萌芽はエヴァリスト・ガロアによる群を用いた代数方程式の研究に見ることができる。20世紀はじめのエミー・ネーターらによる加群の研究において拡大加群などさまざまな関手的構成が蓄積された。20世紀半ばの代数的位相幾何学において実際に関手が定義され、図形から様々な「自然な」代数的構造を取り出す操作を定式化するために利用された。ここでは（基本群のような）代数的対象が位相空間から導かれ、位相空間の間の連続写像は基本群の間の代数的準同型を導いている。その後アレクサンドル・グロタンディークらによる代数幾何学の変革の中でさまざまな数学的対象の関手による定式化が徹底的に追求された。 ==定義== === 共変関手 === ''C'' および ''D'' を圏とする。''C'' から ''D'' への関手、特に共変関手（きょうへんかんしゅ、）''F'' とは以下の性質を満たす対応をいう。 * ''C'' の各対象（object）''X'' を ''D'' の各対象 ''F''(''X'') に対応させる * ''C'' における射（morphism） ''f'' : ''X'' → ''Y'' を ''D'' における射 ''F''(''f'') : ''F''(''X'') → ''F''(''Y'') に対応させ、以下の性質を満たす * 各対象 ''X'' ∈ ''C'' に対して ''F''(id''X'') = id''F''(''X'') * 任意の射 ''f'': ''X'' → ''Y'' および ''g'': ''Y'' → ''Z'' に対して ''F''(''g'' ○ ''f'') = ''F''(''g'') ○ ''F''(''f'') すなわち、関手に対して恒等射および射の合成を保存することが要請される。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「関手」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Functor 」があります。 スポンサード リンク
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