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分数階微分積分学（ぶんすうかいびぶんせきぶんがく、）は解析学の一分野で、微分作用素 ''D'' および積分作用素 ''J'' 〔ここで積分作用素の ''J'' は integration の頭文字 ''I'' を用いるところ、''I'' は恒等写像など他の意味に使われたり、''I'' に似た字形の記号・文字がいろいろと使われたりすることによる混同を避けるためにしばしば使われる。〕が実数冪あるいは複素数冪をとる可能性について研究する。 この文脈における「冪」の語は作用素の合成を繰り返し行うという意味で用いており、それに従えばたとえば ''f''2(''x'') = ''f''(''f''(''x'')) ということになる。さてたとえば、微分作用素 ''D'' の平方根（あるいは微分を半分だけ作用させる）という意味での式 :: に何か意味のある解釈をつけられるかということを考えよう。この式は、つまりある作用素を「二度」作用させて、微分作用素 ''D'' と同じ効果を得られるということを意味しているのであり、あるいはもっと一般に、実数 ''s'' に対して微分作用素の冪 :: にあたるものを決定できるかという問をも考えることができるだろう。このとき、''s'' が整数 ''n'' を値にとるならば、''n'' > 0 のときこの冪は通常の意味での ''n''-階微分作用素となり、''n'' < 0 のときは積分作用素 ''J'' の (−''n'')-乗となるように定義されるものでなければならない。 このようなことを考える理由はいくつかある。ひとつはそれによって「離散」的な変数 ''n'' で添字付けられる微分作用素の族 ''D''''n'' 全体が作る半群を実数 ''s'' を径数とする「連続」的な半群のなかにあるとして考えられるようになることである。連続的半群というものは数学のさまざまなところに現われ、豊かな理論を備えている。分数階微分積分学では、冪として必ずしも有理数冪に限らず実数冪や複素数冪を一般に扱うため「分数階」という名称で呼ぶのは少々紛らわしいが、慣習的に「分数階微分積分学」の名称が使われている。 == 分数階微分作用素 == このような理論の存在については、1832年からのリウヴィルの論文にその素地を見ることができる。函数の階数 ''a'' の分数階微分は今日ではしばしばフーリエ変換あるいはメリン変換といった積分変換の意味で定義される。重要なことは、点 ''x'' における分数階微分というものが「局所的」な概念であるのは、''a'' が整数値をとる場合に限られるという点である。つまり、非整数階の場合には、函数 ''f'' の点 ''x'' における分数階微分が ''x'' の極近くでの ''f'' のグラフのみに依存して決まるということができない（整数階微分であればこれが言える）。然るに、分数階微分作用素の理論においてはある種の境界条件や函数についてのさらなる情報が関わってくることが想定される。喩えるならば、分数階微分はある種の周辺視野を要求するのである。 この主題の歴史については、以下の修士論文（フランス語）Stéphane Dugowson, Les différentielles métaphysiques (histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation), Thèse, Université Paris Nord (1994) を参照。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「分数階微積分学」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Fractional calculus 」があります。 スポンサード リンク
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