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: ''See also splitting lemma in singularity theory.'' 数学、より具体的にはホモロジー代数学において、分裂補題 (splitting lemma) は次のようなものである。任意のアーベル圏において、短完全列に対する以下のステートメントは同値である。 写像が ''q'' と ''r'' の短完全列 : が与えられたとし、追加の矢印 ''t'' と ''u'' を存在しないかもしれない写像に対して書く。 : このとき以下のステートメントは同値である。 ;1. 左分裂 (left split): 写像 ''t'': ''B'' → ''A'' が存在して ''tq'' は ''A'' 上恒等写像である。 ;2. 右分裂 (right split): 写像 ''u'': ''C'' → ''B'' が存在して ''ru'' は ''C'' 上恒等写像である。 ;3. 直和 (direct sum): ''B'' は ''A'' と ''C'' のに同型で、''q'' は ''A'' の自然な入射に一致し、''r'' は ''C'' への自然な射影に一致する。 短完全列は上のステートメントのどれかが成り立てば''分裂する'' (split) という。 （「写像」という言葉は考えているアーベル圏の射を意味し、集合の間の写像ではない。） 注意： 完全列 は分裂するとは限らない。 この補題によって第一同型定理を精密化することができる。 * 第一同型定理は上記の短完全列において （すなわち "C" は "r" の余像あるいは "q" の余核に同型である）ということを述べている。 * 列が分裂すれば、 であり、第一同型定理は単に ''C'' の上への射影である。 それは線型代数学の（ の形での）階数・退化次数の定理の圏論的一般化である。 == 証明 == まず、(3) から (1) と (2) が従うことを示すためには、(3) を仮定し ''t'' として直和から ''A'' への自然な射影をとり、''u'' として ''C'' から直和への自然な入射をとる。 (1) ならば (3) を示すために、''B'' の任意の元は集合 (ker ''t'' + im ''q'') に入っていることに注意する。これは ''B'' のすべての ''b'' に対して ''b'' = (''b'' - ''qt''(''b'')) + ''qt''(''b'') であることから従う。''qt''(''b'') は明らかに im ''q'' の元であり (''b'' - ''qt''(''b'')) は :''t''(''b'' - ''qt''(''b'')) = ''t''(''b'') - ''tqt''(''b'') = ''t''(''b'') - (''tq'')''t''(''b'') = ''t''(''b'') - ''t''(''b'') = 0 だから ker ''t'' に入っている。 次に、im ''q'' と ker ''t'' の共通部分は 0 である、なぜならば ''q''(''a'') = ''b'' なる ''A'' の元 ''a'' が存在して ''t''(''b'') = 0 であれば、0 = ''tq''(''a'') = ''a'' であるから ''b'' = 0 である。 このことより ''B'' は im ''q'' と ker ''t'' の直和である。したがってすべての ''B'' の元 ''b'' に対して ''b'' は一意的に ''A'' の元 ''a'' と ker ''t'' の元 ''k'' であって ''b'' = ''q''(''a'') + ''k'' なるもので識別できる。 完全性から ker ''r'' = im ''q'' である。部分列 ''B'' → ''C'' → 0 から ''r'' は上への写像である。それゆえ任意の ''C'' の元 ''c'' に対して ''b'' = ''q''(''a'') + ''k'' が存在して ''c'' = ''r''(''b'') = ''r''(''q''(''a'') + ''k'') = ''r''(''k'')。したがって任意の ''C'' の元 ''c'' に対して ker ''t'' の元 ''k'' が存在して ''c'' = ''r''(''k''), and ''r''(ker ''t'') = ''C''。 ''r''(''k'') = 0 であれば ''k'' は im ''q'' に入る。im ''q'' と ker ''t'' の共通部分は 0 であるから、''k'' = 0 である。したがって射の制限 ''r'' : ker ''t'' → ''C'' は同型射であり ker ''t'' は ''C'' に同型である。 最後に、im ''q'' は 0 → ''A'' → ''B'' の完全性により ''A'' と同型である。なので ''B'' は ''A'' と ''C'' の直和に同型であり (3) が証明される。 (2) ならば (3) を示すために、同様の議論をする。''B'' の任意の元は集合 ker ''r'' + im ''u'' に入る。すべての ''B'' の元 ''b'' に対し ''b'' = (''b'' - ''ur''(''b'')) + ''ur''(''b'') であってこれは ker ''r'' + im ''u'' に入っている。ker ''r'' と im ''u'' の共通部分は 0 である、なぜならば ''r''(''b'') = 0 かつ ''u''(''c'') = ''b'' であれば 0 = ''ru''(''c'') = ''c''。 完全性から im ''q'' = ker ''r'' で、''q'' は単射だから、im ''q'' は ''A'' と同型で、''A'' は ker ''r'' と同型である。''ru'' は全単射だから、''u'' は単射でありしたがって im ''u'' は ''C'' と同型である。なので ''B'' は再び ''A'' と ''C'' の直和である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「分裂補題」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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