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数学、特にホモトピー論では、位相群 ''G'' の分類空間(classifying space) BG は、G のにより空間 ''EG'' の商空間である（つまり、すべてのホモトピー群が自明となるような位相空間）。分類空間は、パラコンパクトな多様体上の任意の G 主バンドルが、主バンドル EG → BG の(pullback bundle)と同型となる性質を持つ〔, Theorem 2〕。 (discrete group) G に対し、BG は、大まかには、弧状連結な位相空間 X であり、X の基本群が G と同型となり、X の高次ホモトピー群が自明となる、つまり、BG は(Eilenberg-Maclane space)、または K(G,1) となる。 ==動機== 無限巡回である G の例は、X として円の例がある。G が(discrete group)のとき、X に付く条件を特定する方法は、X の普遍被覆 Y が可縮であることである。この場合、射影写像 : は、構造群 G を持つファイバーバンドルとなり、実際、G の主バンドルである。実際、(homotopy category)では分類空間の概念への興味は、ファイバーバンドルの場合には、Y が主 G-バンドルに関して普遍的性質を持つという事実から発生した。このことは、高次のホモトピー群が 0 となること以上に基本的なことである。基本的考え方は、G が与えられると、G がその上に自由に作用するような可縮な空間 Y を探すことである。（ホモトピー論の(weak equivalence)の概念は、2つのバージョンを関連付ける。）円の例の場合、無限巡回群 C が実直線に自由に作用するという事実に注意する必要があり、これは可縮である。X を商空間として、3次元から平面への射影となることを考えるように、円は R = Y から X への幾何学のことばでいう射影 π と見なすことができる。この主張は、π は主 C-バンドルの中でも普遍的な性質を持っていることである。任意の主 C-バンドルは有限の方法で π から有限の方法で得られる。
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