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数学の一分野、環論における商環（しょうかん、）、剰余環（じょうよかん、）あるいは剰余類環（じょうよるいかん、）とは、群論における剰余群や線型代数学における商線型空間に類似した環の構成法およびその構成物である。すなわち、はじめに環 ''R'' とその両側イデアル ''I'' が与えられたとき、剰余環 ''R''/''I'' と呼ばれる新しい環が、''I'' の全ての元が零元に潰れる（''I'' による違いを「無視」するともいえる）ことで得られる。 注意: 剰余環は商環とも呼ばれるけれども、整域に対する商体（分数の体）と呼ばれる構成とは異なるし、全商環（商の環、これは環の局所化の一種）とも異なる。 == 厳密な剰余環構成 == 環 ''R'' とその両側イデアル ''I'' が与えられたとき、''R'' 上の同値関係 ~ を :''a'' ~ ''b'' ⇔ ''b'' − ''a'' ∈ ''I'' で定める。''a'' ~ ''b'' が成立することを「''a'' と ''b'' はイデアル ''I'' を法として合同である」という。イデアルの性質から、これが合同関係を定義することを確かめるのは難しくない。 ''R'' の元 ''a'' の属する同値類は : で与えられる。この同値類は ''a'' mod ''I'' とも書き、「''a'' を ''I'' で割った剰余類」 と呼ばれる。 このような同値類全体の成す集合を ''R''/''I'' で表せば、これは : を演算とする環となる（これが矛盾無く定義できることは確認すべきことである）。これを ''R'' を ''I'' で割った商環、あるいは剰余環という。剰余環 ''R''/''I'' の零元は 0 + ''I'' = ''I'' であり、乗法単位元は 1 + ''I'' で与えられる。 環 ''R'' から剰余環 ''R''/''I'' への全射な環準同型 π が : とおくことによって定まる。これは自然な射影や標準準同型などとも呼ばれる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「剰余環」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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