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数学の一分野である環論において、半素イデアルと半素環は素イデアルと素環の一般化である。可換環論においては、半素イデアルは根基イデアルとも呼ばれる。 例えば、有理整数環において、半素イデアルは、零イデアルと、''n'' を square-free な整数として の形のイデアルである。なので、 は有理整数環の半素イデアルだが は半素イデアルでない。 半素環のクラスは半原始環、素環、被約環を含む。 この記事における多くの定義や主張はとにある。 ==定義== 可換環 ''R'' において、真のイデアル ''A'' が半素イデアルであるとは ''A'' が次の同値な条件の一方を満たすことである。 * ある正整数 ''k'' と ''R'' のある元 ''x'' に対して ''x''''k'' が ''A'' の元であれば ''x'' は ''A'' の元である。 * ''y'' が ''R'' の元だが ''A'' の元でないならば、''y'' のすべての正の整数乗は ''A'' の元でない。 補集合が「ベキについて閉じている」という後者の条件は素イデアルの補集合が積について閉じているという事実の類似である。 素イデアルと同様、これは非可換環に"ideal-wise"に延長される。次の条件は環 ''R'' のイデアル ''A'' が半素であるための同値な定義である。 * ''R'' の任意のイデアル ''J'' について、ある正の整数 ''k'' で ''J''''k''⊆''A'' であれば、''J''⊆''A'' である。 * ''R'' の任意の''右''イデアル ''J'' について、ある正の整数 ''k'' で ''J''''k''⊆''A'' であれば、''J''⊆''A'' である。 * ''R'' の任意の''左''イデアル ''J'' について、ある正の整数 ''k'' で ''J''''k''⊆''A'' であれば、''J''⊆''A'' である。 * ''R'' の任意の元 ''x'' について、''xRx''⊆''A'' であれば、''x'' は ''A'' の元である。 ここで再び、m-systemsの補集合としての素イデアルの非可換の類似物がある。環 ''R'' の空でない部分集合 ''S'' は任意の ''s'' ∈ ''S'' に対してある ''r'' ∈ ''R'' が存在して ''srs'' ∈ ''S'' となるとき、n-system と呼ばれる。この概念により、上記のリストに同値な点を追加できる。 * は n-system である。 環 ''R'' は零イデアルが半素イデアルのとき半素環と呼ばれる。可換な場合には、これは ''R'' が被約環であると言っても同じである。なぜならば、''R'' は0でないベキ零元をもたないからである。非可換な場合には、環は0でないベキ零右イデアルをもたないというだけである。なので被約環が常に半素環である一方、逆は成り立たない〔体上の2次全行列環は0でないベキ零元をもつ半素環である。〕。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「半素環」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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