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数学、とくに加群論として知られている抽象代数学の分野において、環 ''R'' は、''R'' 上の射影加群のすべての部分加群が再び射影加群になるとき、遺伝環（いでんかん、）と呼ばれる。この条件が有限生成部分加群についてのみ要求されるときは、半遺伝環（はんいでんかん、）と呼ばれる。 非可換環 ''R'' に対しては、左右の区別が必要であり、左遺伝的、左半遺伝的および左を右にした用語が使われる。左（半）遺伝的であるためには、射影左 ''R''-加群のすべての（有限生成）部分加群が射影的でなければならないし、右（半）遺伝的であるためには、射影右 ''R''-加群のすべての（有限生成）部分加群が射影的でなければならない。環が左（半）遺伝的だが右（半）遺伝的でないことはあり、左右を逆にしても同様である。 == 同値な定義 == * 環 ''R'' が左（半）遺伝的であることと ''R'' のすべての（有限生成）左イデアルが射影加群であることは同値である。 * 環 ''R'' が左遺伝的であることとすべての左加群が長さが高々 1 の射影分解をもつことは同値である。したがって通常の導来関手、例えば や は ''i'' > 1 のとき自明である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「遺伝環」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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