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抽象代数学の分野である環論におけるイデアル（, ）は環の特別な部分集合である。整数全体の成す環における、偶数全体の成す集合や の倍数全体の成す集合などの持つ性質を一般化したもので、その部分集合に属する任意の元の和と差に関して閉じていて、なおかつ環の任意の元を掛けることについても閉じているものをイデアルという。 整数の場合であれば、イデアルと非負整数とは一対一に対応する。即ち整数環 の任意のイデアルは、それぞれただ一つの整数の倍数すべてからなる主イデアルになる。しかしそれ以外の一般の環においてはイデアルと環の元とは全く異なるものを指しうるもので、整数のある種の性質を一般の環に対して一般化する際に、環の元を考えるよりもそのイデアルを考えるほうが自然であるということがある。例えば、環の素イデアルは素数の環における対応物であり、中国の剰余定理もイデアルに対するものに一般化することができる。素因数分解の一意性もデデキント環のイデアルに対応するものが存在し、数論において重要な役割を持つ。 イデアルは整数の算術から定義される合同算術の方法と同様の剰余環（商環）の構成にも用いられる、この点において群論で剰余群（商群）の構成に用いられる正規部分群と同様のものと理解することができる。 順序集合に対するの概念は環論におけるこのイデアルの概念に由来する。またイデアルの概念を一般化して分数イデアルの概念を考えることもでき、それとの区別のためここで扱う通常のイデアルは整イデアルと呼ばれることもある。 == 定義 == 環 の部分集合 が、加法群としての部分群であり、 のどの元を左からかけても、また に含まれるとき、 を左イデアル () という。同様に任意の の元を右からかけたものが に含まれるとき、 を右イデアル () という。言い換えると、 の部分集合 が左（右）イデアルであるとは、 が の左（右）加群としての部分加群であることをいう。左イデアルかつ右イデアルであるものを、両側イデアル () または単にイデアルという。 が可換環である場合はこれらの概念は全て一致するため、単にイデアルと呼ばれる。以下に述べるように、群を正規部分群で類別することによって剰余群を得るのと同様に、環を両側イデアルで類別することによって剰余環を得る。 を環 の両側イデアルとする。 : によって二項関係 を定義すると、これは同値関係になる。この同値関係による商集合には自然に演算が定義できて、環になることが分かる。新しく作られたこの環を のイデアル による剰余環と呼び、 と書く。商環と呼ばれる場合もある。 環の準同型の核はイデアルであり、逆にイデアルはある環準同型の核になる。群の場合と同じように、環についても準同型定理が成り立つ。すなわち、 : が準同型ならば、 の核による剰余環 は準同型の像 と同型である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「イデアル (環論)」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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