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数学、特に環論における単位的環（たんいてきかん、）、単位環（たんいかん、）あるいは単位元持つ環 は〔環論において、環 ''R'' の "unit"（単元）は、単位元 1''R'' に限らず、その環 ''R'' において乗法逆元を持つ元（可逆元）を総した呼称である。しかし、可逆性は単位元の存在なしには定義できないし、単位元は必ず単元であるので、何らかの単元を持つ環は必ず単位的環となって、"ring with (a) unit" という呼称は図らずも齟齬をきたさない。〕、乗法単位元を持つ環のことを言う。 == 定義について == 集合 ''R'' 上の二つの二項演算 (+,∗) を持つ代数系 (''R'',+,∗) が単位的環であるとは、 # 加法の結合性: ''R'' の各元 ''a'', ''b'', ''c'' に対して (''a'' + ''b'')+ ''c'' = ''a'' +(''b'' + ''c'') が成り立つ。 # 加法の可換性: ''R'' の各元 ''a'', ''b'' に対して ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' が成り立つ。 # 加法単位元: ''R'' の元 0''R'' が存在して、''R'' の全ての元 ''a'' に対して 0''R'' + ''a'' = ''a'' + 0''R'' = ''a'' を満たす。 # 加法逆元: ''R'' の各元 ''a'' に対して ''a'' + (−''a'') = (−''a'') + ''a'' =0 となる −''a'' ∈ ''R'' が取れる。 # 乗法の結合性: ''R'' の各元 ''a'', ''b'', ''c'' に対して (''a'' ∗ ''b'')∗ ''c'' = ''a'' ∗(''b'' ∗ ''c'') が成り立つ。 # 乗法単位元: ''R'' の元 1''R'' が存在して、''R'' の全ての元 ''a'' に対して 1''R'' ∗ ''a'' = ''a'' ∗ 1''R'' = ''a'' を満たす。 # 左右分配性: ''R'' の各元 ''a'', ''b'', ''c'' に対して ''a'' ∗(''b'' + ''c'') = (''a'' ∗ ''b'') + (''a'' ∗ ''c'') および (''b'' + ''c'')∗ ''a'' = (''b'' ∗ ''a'') + (''c'' ∗ ''a'') が成り立つ。 を満たすことを言う。（ラングの本など）環の定義に乗法単位元の存在を含める文献もあり、その場合に必ずしも単位的でない環を表すのに擬環 (pseudo-ring, rng) などの語が用いられる。即ち、''R'' が単位環であるとは、乗法単位元 1''R'' の存在する擬環のことに他ならない。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「単位的環」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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