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同程度連続（どうていど れんぞく、）は、解析学の用語の一つであり、関数の列の性質を表す。おおまかには、以下の条件を満たす関数列 (''f''''n'') が同程度連続であると言われる。 *全ての関数 ''f''''n'' が連続である *全ての ''f''''n'' について、ある領域 ''I'' における変動の度合が一定以下（詳細は後述） さらに一般には、関数の（列に限らない）任意の集合に対し同程度連続性（）を定義できる。 同程度連続性と連続性の違いとしては、次の点が重要である。 例として、''f''''n''(''x'') = Arctan ''nx'' で与えられる連続関数の列 (''f''''n'') は、不連続な関数である符号関数の π/2 倍に収束する。しかし、関数列が同程度連続ならばこのようなことは起こらず、極限関数も連続となる。 == 定義 == (''f''n) を、実数全体の集合 R の部分集合 ''X'' 上で定義された実数値関数 ''f''''n'' : ''X'' → R の列とする（より一般の関数に関する定義は後述）。 この列 (''f''''n'') が同程度連続であることの定義は、任意の ε > 0 と ''x'' ∈ ''X'' に対し、適切な δ > 0 を選べば、任意の自然数 ''n'' と |''x'' - ''x′''| < δ なる任意の ''x' '' ∈ ''X'' に対し、|''f''''n''(''x'') - ''f''''n''(''x′'')| < ε が成立することである。 さらに、関数列 (''f''''n'') が一様に同程度連続であることの定義は、任意の ε > 0 に対し、適切な δ > 0 を選べば、任意の自然数 ''n'' と |''x'' - ''x′''| < δ なる任意の ''x'', ''x′'' ∈ ''X'' に対し、|''f''''n''(''x'') - ''f''''n''(''x′'')| < ε が成立することである。 参考までに、列 (''f''''n'') の全ての関数が連続であることの定義を記すと、任意の自然数 ''n'', ε > 0 と ''x'' ∈ ''X'' に対し、適切な δ > 0 を選べば、|''x'' - ''x′''| < δ なる任意の ''x′'' ∈ ''X'' に対し、|''f''''n''(''x'') - ''f''''n''(''x′'')| < ε が成立することである。 この3つの定義の相違を以下にまとめる。連続性においては、δ は ε, ''n'', ''x'' の全てに依存して選んでよい。しかし、同程度連続性においては、δ は ''n'' に依存してはならず、一様な同程度連続性においては、δ は ''n'' と ''x'' の両方に依存せずに選べなくてはならない。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「同程度連続」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Equicontinuity 」があります。 スポンサード リンク
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