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(n) calculus of variations =========================== ・ 変 ： [へん] 1. (adj-na,n) change 2. incident 3. disturbance 4. strange 5. flat (music) 6. odd 7. peculiar 8. suspicious-looking 9. queer 10. eccentric 1 1. funny 1 ・ 変分学 ： [へんぶんがく] (n) calculus of variations ・ 分 ： [ぶん, ふん] 1. (n,n-suf,pref) (1) part 2. segment 3. share 4. ration 5. (2) rate 6. (3) degree 7. one's lot 8. one's status 9. relation 10. duty 1 1. kind 12. lot 13. (4) in proportion to 14. just as much as 1 ・ 学 ： [がく] 【名詞】 1. learning 2. scholarship 3. erudition 4. knowledge
解析学の一分野、変分法（へんぶんほう、; 変分解析学）は、汎函数（函数の集合から実数への写像）の最大化や最小化を扱う。汎函数はしばしば函数とその導函数を含む定積分として表される。この分野の主な興味の対象は、与えられた汎函数を最大・最小とするような「極値」函数、あるいは汎函数の変化率を零とする「停留」函数である。 そのような問題のもっとも単純な例は、二点を結ぶ最短の曲線を求める問題である。何の制約も無ければ二点を結ぶ直線が明らかにその解を与えるが、例えば空間上の特定の曲面上にある曲線という制約が与えられていれば、解はそれほど明らかではないし、複数の解が存在し得る。この問題の解は測地線と総称される。関連する話題としてフェルマーの原理は「光は二点を結ぶ最短の光学的長さを持つ経路を通る。ただし光学的長さは間にある物質によって決まる」ことを述べる。これは力学における最小作用の原理に対応する。 重要な問題の多くが多変数函数を含む。ラプラス方程式の境界値問題の解はディリクレの原理を満足する。 は空間内の与えられた周回路の張る面積が最小の曲面（）を求める問題であり、しばしばその解を石鹸水に浸した枠が張る石鹸膜として見つけるデモンストレーションを目にする。こうした経験は比較的容易に実験できるけれども、その数学的解釈は簡単とはほど遠い（局所的に最小化する曲面は複数存在し得るし、非自明な位相を持ち得る）。 == 歴史 == 変分法はJ.Bernoulli (1696) のとり挙げた最速降下曲線問題に始まるといわれる それはすぐにヤコブ・ベルヌーイおよびギヨーム・ド・ロピタルの目に留まるが、この主題について初めて詳しく述べたのはレオンハルト・オイラーであった。オイラーの成果は1733年に始まり、著書 ''Elementa Calculi Variationum'' はこの分野の名の由来となった。ジョゼフ゠ルイ・ラグランジュはこの理論の拡張に貢献し、Legendre (1786) は最大および最小を判別する方法を（十分とまではいかなくとも）確立した。アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツもまたこの主題に対して先駆的な注目を与えている。この判別法に対して、 (1810), Gauss (1829), Poisson (1831), (1834), Jacobi (1837) など多くの貢献がある。重要な一般論は (1842) によるものを Cauchy (1844) が精密化および改善した。その他にも重要な研究論文や回顧録が (1849), (1850), Hesse (1857), (1858), Carll (1885) など書かれているが、19世紀のおそらくもっとも重要な成果はカール・ヴァイヤストラスによる。その高名な講座は画期的なものであり、それにより確固たる疑いようのない基礎の上に立つ第一人者であったと言えるだろう。1900年に出されたヒルベルトの23の問題のとはこの分野の更なる発展を促した〔。20世紀にはダフィット・ヒルベルト、エミー・ネーター、、アンリ・ルベーグ、ジャック・アダマールらの著しい貢献が成された〔。は変分法を今日モース理論と呼ばれるものに応用した。レフ・ポントリャーギン、および F. H. Clarke はにおいて変分法に対する新しい数学的な道具を開発した〔。リチャード・ベルマンの動的計画法は変分法の代替となるもののひとつである〔Dimitri Bertsekas. Dynamic programming and optimal control. Athena Scientific, 2005.〕〔 See 2004: Harold J. Kushner: regarding Dynamic Programming, "The calculus of variations had related ideas (e.g., the work of Caratheodory, the Hamilton-Jacobi equation). This led to conflicts with the calculus of variations community."〕。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「変分法」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Calculus of variations 」があります。 スポンサード リンク
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