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数学における多変数複素函数論（たへんすうふくそかんすうろん、）は、複素多変数の複素数値関数、すなわち、 個の複素数の組全体の成す空間 上の複素数値函数 : を扱う分野である。複素解析（これは の場合に当たる理論ではあるが、 の場合とは一線を画す性質を持つ）と同様、任意の単なる函数を扱うものではなく、正則 (holomorphic) あるいは複素解析的 (complex analytic) な函数、つまり局所的に変数 たちの冪級数で書けるような関数を扱う。そのような函数は結局のところ、多項式列の局所一様極限として得られるような函数ということもできるし、 次元コーシー＝リーマン方程式の局所解と言っても同じことであるということが分かる。 == 歴史的観点 == 上述のような函数の多くの例は、19世紀の数学においてよく研究されたものであった。例えばアーベル函数やテータ函数の他、ある種の超幾何級数がそのような例として挙げられる。またもちろん、ある複素媒介変数に依存する任意の一変数函数も、そのような例となる。しかしそれらの特徴的な現象は捉えられていなかったため、長年の間、解析学においてその理論の完成は十分ではなかった。は現在では可換環論に分類されるであろう。それは、リーマン面の理論における分岐点の一般化を扱った局所的な描像である分岐を正当化したものである。 1930年代のフリードリヒ・ハルトークスと岡潔の成果により、一般理論の構築がなされ始めた。その当時の同分野における他の研究者には、、およびがいる。ハルトークスは、 のとき任意の解析的函数 : に対してすべての孤立特異点は除去可能であるなど、いくつかの基本的な結果を証明した。ここで当然、周回積分と類似の概念は扱いが難しくなる。 の場合だと、ある点の周りの積分は、（実4次元で考えるため）3次元多様体上で行わなければならず、また2つの別々の複素変数についての逐次周回（線）積分は2次元曲面上の二重積分として扱われる必要がある。このことは、留数計算が非常に異なる性質を持つようになることを意味する。 1945年以降、アンリ・カルタンのフランスでのセミナーにおける重要な研究や、およびのドイツでの重要な研究によって、理論の描像は著しく変化した。多くの問題、特に解析接続についての問題が、明らかにされた。ここで一変数の理論との主要な違いが明らかになる。すなわち、 内の任意の開連結集合 に対して、その境界を超えて解析接続出来ないような関数を見つけることが出来るが、 の場合はそのようなことは言えないのである。実際、そのような性質を持つ はいくらか特殊なものとなる（擬凸性と呼ばれる条件をもつ）。最大限解析接続された関数の自然な定義域は、シュタイン多様体と呼ばれ、その性質は層係数コホモロジー群が消えるというものである。実は、（特に）岡の仕事を、理論の定式化において層を首尾一貫して使用することを導いたよりはっきりした基本へとすることが必要だったのだ。 さらに進んで、解析幾何（紛らわしいが、これは解析函数の零点の幾何に関する名称であり、初中等教育で習うような解析幾何学のことではない）や多変数の保型形式、偏微分方程式などに応用できる基本的な理論が構築された。またや複素多様体は、小平邦彦やによって一般的な形で記述された。さらに、セールの高名な論文GAGAにおいて、解析幾何 () を代数幾何 () へと橋渡す観点が突き止められた。 カール・ジーゲルは、新たな「多変数複素関数論」の扱う「関数」がほとんどない、すなわち、理論における特殊函数的な側面は層に従属するものであったことに、不平をもらしたことが知られている。数論に対する興味は、確かに、モジュラー形式の特定の一般化である。その古典的な代表例は、やである。今日においてそれらは、代数群と関連付けられている。（それぞれ GL(2) の総実代数体のと、シンプレクティック群である。）それらは、保型表現が解析関数から生じうるものである。これはジーゲルの理論と矛盾しないという意味で、現代の理論はそれ自身が異なる方向性を持つものである。 その後の発展として、超函数 (hyperfunction) の理論やが挙げられるが、それらはいずれも場の量子論からいくらか着想を得たものである。その他、バナッハ環の理論など、複素多変数を利用する分野がいくつかある。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「多変数複素関数」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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