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数学において、二項関係（にこうかんけい、）あるいは二変数関係 は、集合 ''A'' の元からなる順序対のあつまりである。別な言い方をすれば、直積集合 ''A''2 = ''A'' × ''A'' の部分集合を、集合 ''A'' 上の二項関係と呼ぶ。あるいはもっと一般に、二つの集合 ''A'', ''B'' に対して、''A'' と ''B'' との間の二項関係とは、直積 ''A'' × ''B'' の部分集合のことをいう。 二項関係の一つの例は素数全体の成す集合 P と整数全体の成す集合 Z の間の整除関係である。この整除関係では任意の素数 ''p'' は、''p'' の倍数である任意の整数 ''z'' に関係を持ち、倍数でない整数には関係しないものとして扱われる。例えば、素数 2 が関係を持つ整数には −4, 0, 6, 10 などが含まれるが 1 や 9 は含まれない。同様に素数 3 が関係する整数として 0, 6, 9 などが挙げられるが、4 や 13 はそうではない。 二項関係は数学のさまざまな分野で用いられ、不等関係、恒等関係、算術の整除関係、初等幾何学の合同関係、グラフ理論の隣接関係、線型代数学の直交関係などのさまざまな概念が二項関係として定式化することができる。また、写像の概念を特別な種類の二項関係として定義することもできる。二項関係は計算機科学においても重用される。 二項関係は ''n''-項関係 ''R'' ⊆ ''A''1 × … × ''A''''n''（各 ''j''-番目の成分が関係の ''j''-番目の始集合 ''A''''j'' からとられているような ''n''-組からなる集合）で ''n'' = 2 とした特別の場合である。 ある種の公理的集合論では（集合の一般化としての）類の上の関係を考えることができる。このような拡張は、集合論における元の帰属関係や包含関係の概念（に限った話ではないが）のモデル化を、ラッセルの逆理のような論理矛盾に陥らずに行うために必要である。 == 定義 == 二項関係 ''R'' は通常、任意の集合（または類）''X'', ''Y'' とそれらの直積 ''X'' × ''Y'' の部分集合 ''G'' の順序三つ組 (''X'', ''Y'', ''G'') として定義される。このとき、集合 ''X'' および ''Y'' はそれぞれこの関係の始集合 および終集合 と呼ばれ、''G'' はこの関係のグラフと呼ばれ、 ''G''(''R'') と表すこともある。 ''R'' が関係 (''X'', ''Y'', ''G'') であるとき、(''x'', ''y'') ∈ ''G'' となることを、「''x'' は ''y'' と ''R''-関係を持つ」などといい、''x R y'' や ''R''(''x'', ''y'') で表す。後者は、対の集合 ''G'' の指示函数として ''R'' を見ることに対応する。 始集合と終集合が同じ場合であっても、対の各要素の順番は重要で、''a'' ≠ ''b'' ならば ''a R b'' および ''b R a'' はそれぞれ独立に真にも偽にもなりうる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「二項関係」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Binary relation 」があります。 スポンサード リンク
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