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===================================== 〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。 ・ 射影 ： [しゃえい] (n,vs) (gen) (math) projection ・ 影 ： [かげ] 【名詞】 1. shade 2. shadow 3. other side ・ ー ： [ちょうおん] (n) long vowel mark (usually only used in katakana)
代数幾何学では、代数的閉体 k 上の射影多様体(projective variety)とは、k 上の射影 n-空間 Pn の部分集合で、k に係数を持つ n + 1 変数の斉次多項式の族の零点の軌跡となっていて、多様体の定義イデアルの素イデアルを生成するものを言う。素イデアルを生成するという条件の付いていない場合は、そのような集合を射影代数的集合(projective algebraic set)と呼ぶ。同じことであるが、代数多様体が射影的とは、ザリスキー位相が閉である Pn の部分多様体として埋め込むことができる。射影多様体のザリスキー位相が開である部分多様体を(quasi-projective variety)という。 X が斉次素イデアル I により定義された射影多様体であれば、商環 : は X の斉次座標環と呼ばれる。環は X の（埋め込みに依存する）重要な不変量であるヒルベルト多項式 P から来る。P の次数は、X の位相次元 r であり、主要項の係数に r! をかけると多様体 X の(degree)である。X が滑らかであれば、X の算術種数は、(−1)r (P(0) − 1) である。例えば、 Pn の同時座標環は、 であり、ヒルベルト多項式は であり、算術種数は 0 である。 射影多様体 X のもうひとつの重要な不変量として、ピカール群 があり、X のラインバンドルの同型類である。ピカール群は に同型であり、埋め込みに対して独立な本質的な考え方である。例えば、Pn のピカール群は次数写像を通し Z と同型である。 の核は X のヤコビ多様体と呼ばれる。（滑らかな）曲線のヤコビ多様体は、曲線の研究で重要な役目を果たす。 古典と現代の分類プログラムは、自然に射影多様体のモジュライの構成を導く。 ヒルベルトスキームは射影スキームであり、ヒルベルト多項式により記述された Pn の部分スキームをパラメトライズすることに使われる。例えば、(Grassmannian) は特別なヒルベルト多項式を持つヒルベルトスキームである。幾何学的不変式論は別のアプローチをもたらす。古典的アプローチは、(Teichmüller space)と(Chow varieties)の方法を意味する。 複素射影多様体に対しては、代数幾何学と複素解析幾何学のアプローチが合体する。周の定理は、射影多様体の部分集合が正則函数の零点の軌跡であることと、斉次多項式の零点であることとは同値であることを言っている。（この定理の系として、「コンパクト」な複素空間にはただ一つの多様体の構造が入ることが分かる。）GAGA は、正則ベクトルバンドル（さらに一般的には、解析的連接層）が X 上に入り、代数的ベクトルバンドルと一致する。 == 例 == *2つの射影空間の(fibered product)は射影的である。実際、明らかな埋め込みが存在する（(Segre embedding)と呼ばれる）。 :: (辞書式順序). :このことから射影多様体のファイバー積は射影的であることが従う。 *余次元 1 の Pn のすべての既約閉部分集合は、超平面である。すなわち、いくつかの既約な斉次多項式の零点の集合である。〔これは、Pn の斉次座標環は一意分解整域であり、一意分解整域内の高さ 1 の素イデアルは主イデアルであるからである。〕 * 次数 d の超曲線の算術種数は 内で である。特に、 P2 の次数 d の滑らかな曲線は、算術種数 である（種数公式）。 *(smooth curve)が射影的であることと、曲線が(complete)であることとは同値である。これは次のように考えることで分かる。F が滑らかな射影曲線 C の函数体（代数函数体と呼ばれる）であれば、C は k 上の F の離散的付値環の集合と同一視でき、この集合は自然に(Zariski–Riemann space)と呼ばれるザリスキー位相を持つ。曲線のさらに特別な例については、代数曲線を参照。
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