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数学において射有限群（しゃゆうげんぐん、）あるいは副有限群（ふくゆうげんぐん）は、有限群の射影系の極限になっているような位相群である。ガロア群やp-進整数を係数とする代数群など、数論的に興味深い様々な群が射有限群の構造を持つ。 射有限群は完全不連結でコンパクトなハウスドルフ位相群として定義される。同値な定義として、離散有限群の成す射影系（逆系）の射影極限（逆極限）として得られる位相群に同型であるような群を射有限群と定めるいうこともできる。 == 例 == * 有限群は離散位相に関して射有限である。 * ''p''-進整数全体の成す加法群 Z''p'' は射有限である（実際にはさらに射巡回的である）。この群は、''n'' を全ての自然数を亘って動かすとき、有限群 Z/''p''''n''Z とそれらの間の自然な射影 Z/''p''''n''Z → Z/''p''''m''Z (''n'' ≥ ''m'') が成す射影系の射影極限になっており、この群の射有限群としての位相はZ''p'' 上の ''p''-進付値から定まる位相と一致する。 * 体の無限次拡大のガロア理論では、射有限なガロア群が自然に現れる。具体的に、''L''/''K'' を（無限次元の）ガロア拡大とし、''K'' の元を動かさない ''L'' 上の体自己同型全体の成す群 ''G'' = Gal(''L''/''K'') を考える。この無限ガロア群は、''F'' が ''F''/''K'' が有限次ガロア拡大であるような ''L''/''K'' の中間体すべてを亘るとき、有限ガロア群 Gal(''F''/''K'') が成す射影系の逆極限である。この射影系における射は、''F''2 ⊆ ''F''1 なるとき、制限準同型 Gal(''F''1/''K'') → Gal(''F''2/''K'') で与えられる。得られる Gal(''L''/''K'') の位相はヴォルフガンク・クルルに因んでクルル位相 として知られる。ウォーターハウスは「任意の」射有限群が、「ある」体 ''K'' 上のガロア群に同型なる群として得られることを示した〔William C. Waterhouse. ''Profinite groups are Galois groups''. Proc. Amer. Math. Soc. 42 (1973), pp. 639–640.〕が、このとき具体的にどのような体 ''K'' を選べばよいか決定する方法はいまだ知られていない。事実、多くの体 ''K'' で、どのような有限群が体 ''K'' 上のガロア群として得られるかということは一般にははっきりしない。このような問題は体 ''K'' に対するガロアの逆問題と呼ばれる（複素一変数の有理函数体のように、ガロアの逆問題が解決されている体もある）。 * 代数幾何学において考察される基本群もまた射有限である。これは大雑把に言って、代数的には代数多様体の有限被覆だけしか「見る」ことができないということを反映するものであり、代数的位相幾何学における基本群は一般には射有限ではない。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「射有限群」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Profinite group 」があります。 スポンサード リンク
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