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線型代数学および函数解析学における射影作用素あるいは単に射影（しゃえい、）とは、いわゆる射影（投影）を一般化した概念である。有限次元ベクトル空間 ''V'' の場合は、''V'' 上の線型変換 ''P'': ''V'' → ''V'' であって、冪等律 ''P''2 = ''P'' を満たすものを言う。ベクトル ''v'' の像 ''Pv'' を ''v'' の射影という。射影作用素はベクトル空間 ''V'' を ''U''⊕''W'' と直和分解したときに、''V'' の元 ''v'' = ''u'' + ''w'' (''u'' ∈ ''U'', ''w'' ∈ ''W'') を ''u'' に写すような変換である。ベクトル空間の次元が無限次元の場合には、連続性を考慮しなければならない。例えばヒルベルト空間 における射影作用素とは、 上の有界線型作用素 であって、冪等律 ''P''2 = ''P'' を満たすものを言う。このときさらに自己共役性 ''P''∗ = ''P'' を持つときには直交射影（ちょっこうしゃえい、）という。直交射影のことを単に射影と呼ぶこともある。 この定義は抽象的ではあるが、投影図法の考え方を一般化し、定式化したものになっている。 幾何学的対象上の射影の影響は、その対象の各点における射影の影響を調べることでわかる。 == 平易な例 == === 直交射影 === 例えば、三次元空間 R3 の点 (''x'', ''y'', ''z'') を点 (''x'', ''y'', 0) へ写す写像は ''xy''-平面の上への射影である。この写像は行列 : によって表現される。実際、この行列 ''P'' の任意のベクトルへの作用は : となり、これが射影を定めること（つまり ''P'' = ''P''2 を満たすこと）は : なる計算によって確かめられる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「射影作用素」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Projection (linear algebra) 」があります。 スポンサード リンク
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