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数学において、複雑な形状の曲線（弧状線分）の弧長（こちょう、）を決定する問題は、曲線の求長 とも呼ばれ、特定の曲線に対する求長法は歴史的に様々なものが考えられてきたが、無限小解析の到来とともに曲線に依らない一般論が導かれ、いくつかの場合にはそこから閉じた形の式が得られる。 平面内の曲線は、曲線上の有限個の点を線分で結んで得られる折線で近似することができる。各線分の長さは、ユークリッド空間におけるピタゴラスの定理などから直接に求まるから、近似折線の総延長はそれらの線分の長さの総和として決定することができる。 考えている曲線がはじめから折線なのでなければ、用いる線分の長さを短くして数を増やすことによって、よりその曲線に近い形の折線近似が得られる。そうやってよりよい近似折線を次々につくっていくと、その長さは減ることはなく、場合によっては無制限に増加し続ける可能性もある。しかし、殊滑らかな曲線に限っては、それは線分の長さを無限に小さくする極限で必ず一定の極限値へ収斂する。このように、ある種の曲線に対しては、任意の近似折線の長さの上界に最小値 ''L'' が存在する。そのとき、その曲線は有限長であるといい、値 ''L'' をその曲線の弧長と呼ぶのである。 == 定義 == ''X'' はユークリッド空間 R''n'' や、より一般の距離空間であるとし、''C'' を空間 ''X'' 内の曲線とする。すなわち、''C'' は実数直線内の閉区間 [''a'', ''b''] から ''X'' への連続写像 ''f'': [''a'', ''b''] → ''X'' の像である。 区間 [''a'', ''b''] に対して 区間の分割 : ''a'' = ''t''0 < ''t''1 < … < ''t''''n''−1 < ''t''''n'' = ''b'' を考えれば、曲線 ''C'' 上に有限個の点 ''f''(''t''0), ''f''(''t''1), ..., ''f''(''t''''n''−1), ''f''(''t''''n'') が取れる。''f''(''t''''i'') から''f''(''t''''i''+1) への距離を ''d''(''f''(''t''''i''), ''f''(''t''''i''+1)) で表せば、これはこの二点を結ぶ線分の長さである。 曲線 ''C'' の弧長 ''L'' = ''L''(''C'') は : で与えられる。ただし、上限 sup は区間 [''a'', ''b''] の分割個数 ''n'' をいくらでも大きくとってできる分割すべてを亘ってとる。 弧長 ''L'' は有限にも無限にも成り得るが、''L'' < ∞ ならば ''C'' は有限長（; 求長可能）であるといい、さもなくば無限長（; 求長不能）であるという。この弧長の定義において、''C'' は可微分函数 ''f'' で定義されている必要はない。実際のところ、一般の距離空間上で考えている場合には、微分可能性を定義することが一般には期待できない。 曲線は様々な方法で媒介変数表示され得る。そこで曲線 ''C'' が定義写像 ''f'' 以外に媒介変数表示 ''g'': [''c'', ''d''] → ''X'' をも持つ場合を考える。''f'' および ''g'' が単射であるときには、連続単調写像 ''S'': [''a'', ''b''] → [''c'', ''d''] が存在して、''g''(''S''(''t'')) = ''f''(''t'') が成り立ち、逆写像 ''S''−1: [''c'', ''d''] → [''a'', ''b''] が存在する。明らかに、任意の : の形の和は、''u''''i'' = ''S''(''t''''i'') と置けば、 : の形の和に等しく、逆もまた同様である。従って弧長は、それが媒介変数の取り方に依らないという意味で、曲線に内在する性質であることがわかる。 曲線に対するこの弧長の定義は、実数値函数に対する全変分（全変動）の定義の類似である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「弧長」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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