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弱局所連結空間[なよなよ]
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〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。
・ 弱 ： [なよなよ]
【名詞】 1. weak 2. delicate 3. supple
・ 局 ： [きょく, つぼね]
【名詞】 1. court lady 2. lady-in-waiting
・ 局所 ： [きょくしょ]
1. (n,adj-no) section 2. local
・ 所 ： [ところ, どころ]
(suf) place
・ 連 ： [むらじ, れん]
【名詞】 1. party 2. company 3. group
・ 連結 ： [れんけつ]
1. (n,vs) concatenation 2. coupling 3. connection
・ 空 ： [そら]
【名詞】 1. sky 2. the heavens
・ 空間 ： [くうかん]
【名詞】 1. space 2. room 3. airspace
・ 間 ： [けん, ま]
【名詞】 1. space 2. room 3. time 4. pause
| 弱局所連結空間 （ リダイレクト：位相幾何学や数学の他の分野において、位相空間 ''X'' が局所連結（きょくしょれんけつ、）であるとは、すべての点が、連結開集合のみからなる近傍基を持つことをいう。==背景==トポロジーの歴史の全体を通して、連結性とコンパクト性は最も広く研究された位相的性質の 2 つであった。実際、ユークリッド空間の部分集合の中でさえこれらの性質の研究、そしてユークリッド計量の特定の形式からのそれらの独立性の認識は、位相的性質したがって位相空間の概念を明確化するのに大きな役割を果たした。しかしながら、ユークリッド空間のコンパクト部分集合の構造はハイネ・ボレルの定理を通してかなり早期に理解されたが、（''n'' > 1 に対して）\mathbb^n の連結部分集合ははるかに複雑であると証明された。実際、任意のコンパクトハウスドルフ空間は局所コンパクトであるが、連結空間 - ユークリッド平面の連結部分集合でさえ - 局所連結とは限らない（下記参照）。これは20世紀前半に研究の豊かな脈に導き、トポロジストは局所連結空間の概念の微妙で複雑なバリエーションを研究した（例として、点における弱局所連結性の概念と局所連結性とのその関係は後述）。 20世紀後半には、研究のトレンドは局所的に（ユークリッド空間に局所同相なので）よく理解されるが複雑な大域的振る舞いを持つ多様体のような空間のより激しい研究にシフトした。これによって次のことが意味される。多様体の基本的な点集合位相は（多様体は概念の多くの定義によって本質的に距離化可能であるので）比較的単純だが、それらの代数的位相ははるかに複雑である。この現代的観点から、局所弧状連結性のより強い性質がより重要であることが判明する： 例えば、空間が普遍被覆を持つためには、連結かつ局所弧状連結でなければならない（局所弧状連結性は後述）。空間が局所連結であることとすべての開集合 ''U'' に対して（部分空間位相で）''U'' の連結成分が開であることは同値である。例えば次が従う。局所連結空間から完全不連結空間への連続関数は局所定数でなければならない。実は成分の開性はとても自然なのでそれは一般には正しくないことを心に留めておくようにしなければならない： 例えばは完全不連結であるが離散ではない。==定義と最初の例== ''X'' を位相空間とし、''x'' を ''X'' の点とする。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して x \in U \subset V なる連結開集合 ''U'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において局所連結''' (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を'''局所連結''' (locally connected) と言うWillard, Definition 27.4, p. 199。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は '''''x'' において弱局所連結''' (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに'''弱局所連結''' (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。'''最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。'x'' において局所連結 (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を局所連結 (locally connected) と言うWillard, Definition 27.4, p. 199。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において弱局所連結 (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。 ） ： ウィキペディア日本語版 |
位相幾何学や数学の他の分野において、位相空間 ''X'' が局所連結（きょくしょれんけつ、）であるとは、すべての点が、連結開集合のみからなる近傍基を持つことをいう。==背景==トポロジーの歴史の全体を通して、連結性とコンパクト性は最も広く研究された位相的性質の 2 つであった。実際、ユークリッド空間の部分集合の中でさえこれらの性質の研究、そしてユークリッド計量の特定の形式からのそれらの独立性の認識は、位相的性質したがって位相空間の概念を明確化するのに大きな役割を果たした。しかしながら、ユークリッド空間のコンパクト部分集合の構造はハイネ・ボレルの定理を通してかなり早期に理解されたが、（''n'' > 1 に対して）\mathbb^n の連結部分集合ははるかに複雑であると証明された。実際、任意のコンパクトハウスドルフ空間は局所コンパクトであるが、連結空間 - ユークリッド平面の連結部分集合でさえ - 局所連結とは限らない（下記参照）。これは20世紀前半に研究の豊かな脈に導き、トポロジストは局所連結空間の概念の微妙で複雑なバリエーションを研究した（例として、点における弱局所連結性の概念と局所連結性とのその関係は後述）。 20世紀後半には、研究のトレンドは局所的に（ユークリッド空間に局所同相なので）よく理解されるが複雑な大域的振る舞いを持つ多様体のような空間のより激しい研究にシフトした。これによって次のことが意味される。多様体の基本的な点集合位相は（多様体は概念の多くの定義によって本質的に距離化可能であるので）比較的単純だが、それらの代数的位相ははるかに複雑である。この現代的観点から、局所弧状連結性のより強い性質がより重要であることが判明する： 例えば、空間が普遍被覆を持つためには、連結かつ局所弧状連結でなければならない（局所弧状連結性は後述）。空間が局所連結であることとすべての開集合 ''U'' に対して（部分空間位相で）''U'' の連結成分が開であることは同値である。例えば次が従う。局所連結空間から完全不連結空間への連続関数は局所定数でなければならない。実は成分の開性はとても自然なのでそれは一般には正しくないことを心に留めておくようにしなければならない： 例えばは完全不連結であるが離散ではない。==定義と最初の例== ''X'' を位相空間とし、''x'' を ''X'' の点とする。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して x \in U \subset V なる連結開集合 ''U'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において局所連結 (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を局所連結 (locally connected) と言うWillard, Definition 27.4, p. 199。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において弱局所連結 (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。最初の例1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。'x'' において局所連結 (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を局所連結 (locally connected) と言うWillard, Definition 27.4, p. 199。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において弱局所連結 (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。最初の例1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。最初の例1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。[けん, ま]
位相幾何学や数学の他の分野において、位相空間 ''X'' が局所連結（きょくしょれんけつ、）であるとは、すべての点が、連結開集合のみからなる近傍基を持つことをいう。
==背景==
トポロジーの歴史の全体を通して、連結性とコンパクト性は最も広く研究された位相的性質の 2 つであった。実際、ユークリッド空間の部分集合の中でさえこれらの性質の研究、そしてユークリッド計量の特定の形式からのそれらの独立性の認識は、位相的性質したがって位相空間の概念を明確化するのに大きな役割を果たした。しかしながら、ユークリッド空間のコンパクト部分集合の構造はハイネ・ボレルの定理を通してかなり早期に理解されたが、（''n'' > 1 に対して） の連結部分集合ははるかに複雑であると証明された。実際、任意のコンパクトハウスドルフ空間は局所コンパクトであるが、連結空間 - ユークリッド平面の連結部分集合でさえ - 局所連結とは限らない（下記参照）。
これは20世紀前半に研究の豊かな脈に導き、トポロジストは局所連結空間の概念の微妙で複雑なバリエーションを研究した（例として、点における弱局所連結性の概念と局所連結性とのその関係は後述）。
20世紀後半には、研究のトレンドは局所的に（ユークリッド空間に局所同相なので）よく理解されるが複雑な大域的振る舞いを持つ多様体のような空間のより激しい研究にシフトした。これによって次のことが意味される。多様体の基本的な点集合位相は（多様体は概念の多くの定義によって本質的に距離化可能であるので）比較的単純だが、それらの代数的位相ははるかに複雑である。この現代的観点から、局所弧状連結性のより強い性質がより重要であることが判明する： 例えば、空間が普遍被覆を持つためには、連結かつ局所弧状連結でなければならない（局所弧状連結性は後述）。
空間が局所連結であることとすべての開集合 ''U'' に対して（部分空間位相で）''U'' の連結成分が開であることは同値である。例えば次が従う。局所連結空間から完全不連結空間への連続関数は局所定数でなければならない。実は成分の開性はとても自然なのでそれは一般には正しくないことを心に留めておくようにしなければならない： 例えばは完全不連結であるが離散ではない。
==定義と最初の例==
''X'' を位相空間とし、''x'' を ''X'' の点とする。
''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して なる連結開集合 ''U'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において局所連結 (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を局所連結 (locally connected) と言う〔Willard, Definition 27.4, p. 199〕。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。
対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において弱局所連結 (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にある〔Willard, Definition 27.14, p. 201〕。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。
言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。
明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要がある〔Willard, Theorem 27.16, p. 201〕。証明は下で与えられる。
次のとき ''X'' は ''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、 なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。
弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。
最初の例
1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 は連結かつ局所連結である。
2. 実数直線 の部分空間 は局所連結だが連結でない。
3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間である〔Steen & Seebach, pp. 137–138〕。
4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 は連結でも局所連結でもない。
5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。
6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でない〔Steen & Seebach, pp. 49–50〕。
さらなる例は記事で後で与えられる。'x'' において局所連結 (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を局所連結 (locally connected) と言う〔Willard, Definition 27.4, p. 199〕。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。
対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において弱局所連結 (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にある〔Willard, Definition 27.14, p. 201〕。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。
言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。
明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要がある〔Willard, Theorem 27.16, p. 201〕。証明は下で与えられる。
次のとき ''X'' は ''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、 なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。
弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。
最初の例
1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 は連結かつ局所連結である。
2. 実数直線 の部分空間 は局所連結だが連結でない。
3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間である〔Steen & Seebach, pp. 137–138〕。
4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 は連結でも局所連結でもない。
5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。
6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でない〔Steen & Seebach, pp. 49–50〕。
さらなる例は記事で後で与えられる。
最初の例
1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 は連結かつ局所連結である。
2. 実数直線 の部分空間 は局所連結だが連結でない。
3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間である〔Steen & Seebach, pp. 137–138〕。
4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 は連結でも局所連結でもない。
5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。
6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でない〔Steen & Seebach, pp. 49–50〕。
さらなる例は記事で後で与えられる。
抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。'''最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。'x'' において局所連結 (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を局所連結 (locally connected) と言うWillard, Definition 27.4, p. 199。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において弱局所連結 (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。">ウィキペディア（Wikipedia）』
■''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。'''最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。'x'' において局所連結 (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を局所連結 (locally connected) と言うWillard, Definition 27.4, p. 199。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において弱局所連結 (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。">ウィキペディアで「位相幾何学や数学の他の分野において、位相空間 ''X'' が局所連結（きょくしょれんけつ、）であるとは、すべての点が、連結開集合のみからなる近傍基を持つことをいう。==背景==トポロジーの歴史の全体を通して、連結性とコンパクト性は最も広く研究された位相的性質の 2 つであった。実際、ユークリッド空間の部分集合の中でさえこれらの性質の研究、そしてユークリッド計量の特定の形式からのそれらの独立性の認識は、位相的性質したがって位相空間の概念を明確化するのに大きな役割を果たした。しかしながら、ユークリッド空間のコンパクト部分集合の構造はハイネ・ボレルの定理を通してかなり早期に理解されたが、（''n'' > 1 に対して）\mathbb^n の連結部分集合ははるかに複雑であると証明された。実際、任意のコンパクトハウスドルフ空間は局所コンパクトであるが、連結空間 - ユークリッド平面の連結部分集合でさえ - 局所連結とは限らない（下記参照）。これは20世紀前半に研究の豊かな脈に導き、トポロジストは局所連結空間の概念の微妙で複雑なバリエーションを研究した（例として、点における弱局所連結性の概念と局所連結性とのその関係は後述）。 20世紀後半には、研究のトレンドは局所的に（ユークリッド空間に局所同相なので）よく理解されるが複雑な大域的振る舞いを持つ多様体のような空間のより激しい研究にシフトした。これによって次のことが意味される。多様体の基本的な点集合位相は（多様体は概念の多くの定義によって本質的に距離化可能であるので）比較的単純だが、それらの代数的位相ははるかに複雑である。この現代的観点から、局所弧状連結性のより強い性質がより重要であることが判明する： 例えば、空間が普遍被覆を持つためには、連結かつ局所弧状連結でなければならない（局所弧状連結性は後述）。空間が局所連結であることとすべての開集合 ''U'' に対して（部分空間位相で）''U'' の連結成分が開であることは同値である。例えば次が従う。局所連結空間から完全不連結空間への連続関数は局所定数でなければならない。実は成分の開性はとても自然なのでそれは一般には正しくないことを心に留めておくようにしなければならない： 例えばは完全不連結であるが離散ではない。==定義と最初の例== ''X'' を位相空間とし、''x'' を ''X'' の点とする。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して x \in U \subset V なる連結開集合 ''U'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において局所連結''' (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を'''局所連結''' (locally connected) と言うWillard, Definition 27.4, p. 199。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は '''''x'' において弱局所連結''' (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに'''弱局所連結''' (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。'''最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。'x'' において局所連結 (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を局所連結 (locally connected) と言うWillard, Definition 27.4, p. 199。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において弱局所連結 (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。」の詳細全文を読む
'x'' において弱局所連結 (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。最初の例1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。'x'' において局所連結 (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を局所連結 (locally connected) と言うWillard, Definition 27.4, p. 199。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において弱局所連結 (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。最初の例1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。最初の例1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。">ウィキペディア（Wikipedia）』
■''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。'''最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。'x'' において局所連結 (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を局所連結 (locally connected) と言うWillard, Definition 27.4, p. 199。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において弱局所連結 (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。">ウィキペディアで「位相幾何学や数学の他の分野において、位相空間 ''X'' が局所連結（きょくしょれんけつ、）であるとは、すべての点が、連結開集合のみからなる近傍基を持つことをいう。==背景==トポロジーの歴史の全体を通して、連結性とコンパクト性は最も広く研究された位相的性質の 2 つであった。実際、ユークリッド空間の部分集合の中でさえこれらの性質の研究、そしてユークリッド計量の特定の形式からのそれらの独立性の認識は、位相的性質したがって位相空間の概念を明確化するのに大きな役割を果たした。しかしながら、ユークリッド空間のコンパクト部分集合の構造はハイネ・ボレルの定理を通してかなり早期に理解されたが、（''n'' > 1 に対して）\mathbb^n の連結部分集合ははるかに複雑であると証明された。実際、任意のコンパクトハウスドルフ空間は局所コンパクトであるが、連結空間 - ユークリッド平面の連結部分集合でさえ - 局所連結とは限らない（下記参照）。これは20世紀前半に研究の豊かな脈に導き、トポロジストは局所連結空間の概念の微妙で複雑なバリエーションを研究した（例として、点における弱局所連結性の概念と局所連結性とのその関係は後述）。 20世紀後半には、研究のトレンドは局所的に（ユークリッド空間に局所同相なので）よく理解されるが複雑な大域的振る舞いを持つ多様体のような空間のより激しい研究にシフトした。これによって次のことが意味される。多様体の基本的な点集合位相は（多様体は概念の多くの定義によって本質的に距離化可能であるので）比較的単純だが、それらの代数的位相ははるかに複雑である。この現代的観点から、局所弧状連結性のより強い性質がより重要であることが判明する： 例えば、空間が普遍被覆を持つためには、連結かつ局所弧状連結でなければならない（局所弧状連結性は後述）。空間が局所連結であることとすべての開集合 ''U'' に対して（部分空間位相で）''U'' の連結成分が開であることは同値である。例えば次が従う。局所連結空間から完全不連結空間への連続関数は局所定数でなければならない。実は成分の開性はとても自然なのでそれは一般には正しくないことを心に留めておくようにしなければならない： 例えばは完全不連結であるが離散ではない。==定義と最初の例== ''X'' を位相空間とし、''x'' を ''X'' の点とする。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して x \in U \subset V なる連結開集合 ''U'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において局所連結''' (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を'''局所連結''' (locally connected) と言うWillard, Definition 27.4, p. 199。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は '''''x'' において弱局所連結''' (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに'''弱局所連結''' (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。'''最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。'x'' において局所連結 (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を局所連結 (locally connected) と言うWillard, Definition 27.4, p. 199。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において弱局所連結 (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。」の詳細全文を読む
'x'' において弱局所連結 (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。最初の例1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。'x'' において局所連結 (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を局所連結 (locally connected) と言うWillard, Definition 27.4, p. 199。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において弱局所連結 (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。最初の例1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。最初の例1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。">ウィキペディアで「位相幾何学や数学の他の分野において、位相空間 ''X'' が局所連結（きょくしょれんけつ、）であるとは、すべての点が、連結開集合のみからなる近傍基を持つことをいう。==背景==トポロジーの歴史の全体を通して、連結性とコンパクト性は最も広く研究された位相的性質の 2 つであった。実際、ユークリッド空間の部分集合の中でさえこれらの性質の研究、そしてユークリッド計量の特定の形式からのそれらの独立性の認識は、位相的性質したがって位相空間の概念を明確化するのに大きな役割を果たした。しかしながら、ユークリッド空間のコンパクト部分集合の構造はハイネ・ボレルの定理を通してかなり早期に理解されたが、（''n'' > 1 に対して）\mathbb^n の連結部分集合ははるかに複雑であると証明された。実際、任意のコンパクトハウスドルフ空間は局所コンパクトであるが、連結空間 - ユークリッド平面の連結部分集合でさえ - 局所連結とは限らない（下記参照）。これは20世紀前半に研究の豊かな脈に導き、トポロジストは局所連結空間の概念の微妙で複雑なバリエーションを研究した（例として、点における弱局所連結性の概念と局所連結性とのその関係は後述）。 20世紀後半には、研究のトレンドは局所的に（ユークリッド空間に局所同相なので）よく理解されるが複雑な大域的振る舞いを持つ多様体のような空間のより激しい研究にシフトした。これによって次のことが意味される。多様体の基本的な点集合位相は（多様体は概念の多くの定義によって本質的に距離化可能であるので）比較的単純だが、それらの代数的位相ははるかに複雑である。この現代的観点から、局所弧状連結性のより強い性質がより重要であることが判明する： 例えば、空間が普遍被覆を持つためには、連結かつ局所弧状連結でなければならない（局所弧状連結性は後述）。空間が局所連結であることとすべての開集合 ''U'' に対して（部分空間位相で）''U'' の連結成分が開であることは同値である。例えば次が従う。局所連結空間から完全不連結空間への連続関数は局所定数でなければならない。実は成分の開性はとても自然なのでそれは一般には正しくないことを心に留めておくようにしなければならない： 例えばは完全不連結であるが離散ではない。==定義と最初の例== ''X'' を位相空間とし、''x'' を ''X'' の点とする。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して x \in U \subset V なる連結開集合 ''U'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において局所連結 (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を局所連結 (locally connected) と言うWillard, Definition 27.4, p. 199。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において弱局所連結''' (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに'''弱局所連結''' (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。'''最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。'x'' において局所連結 (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を局所連結 (locally connected) と言うWillard, Definition 27.4, p. 199。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において弱局所連結 (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。」の詳細全文を読む
'x'' において弱局所連結 (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。最初の例1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。'x'' において局所連結 (locally connected at ''x'') であると言う。''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において極連結であるときに空間 ''X'' を局所連結 (locally connected) と言うWillard, Definition 27.4, p. 199。局所連結性と連結性は互いに関係していないことに注意しよう。空間はこれらの性質の 1 つあるいは両方を持つかもしれないし、どちらも持たないかもしれない。対照的に、''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して ''x'' が ''N'' の内部にあるような ''V'' の連結部分集合 ''N'' が存在するときに ''X'' は ''x'' において弱局所連結 (weakly locally connected at ''x'' あるいは connected im kleinen at ''x'') であるという。同値な定義は： ''x'' を含む各開集合 ''V'' は ''x'' のある開近傍 ''U'' を含み ''U'' の任意の 2 点は ''V'' のある連結部分集合にあるWillard, Definition 27.14, p. 201。空間 ''X'' は ''X'' のすべての ''x'' に対して ''x'' において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。''x'' における局所連結性に対しては ''x'' を含む''開''連結集合の近傍基が要求され、''x'' における弱局所連結性に対しては ''x'' を含む''連結''集合の近傍基のみ要求される。明らかに ''x'' において局所連結である空間は ''x'' において弱局所連結である。逆は成り立たない（反例 broom space （ほうき空間）は下で与えられる）。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は''成り立つ''ことが判明する： すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要があるWillard, Theorem 27.16, p. 201。証明は下で与えられる。次のとき ''X'' は " TITLE="''x'' において局所弧状連結">''x'' において局所弧状連結 (locally path connected at ''x'') であるという。''x'' を含むすべての開集合 ''V'' に対して、x \in U \subset V なる弧状連結開集合 ''U'' が存在する。空間 ''X'' が" TITLE="局所弧状連結">局所弧状連結であるとは、すべての ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' において局所弧状連結であるということである。弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない（下の例 6 参照）。最初の例1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。」の詳細全文を読む
1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。最初の例'''1. 任意の正の整数 ''n'' に対して、ユークリッド空間 \mathbb^n は連結かつ局所連結である。2. 実数直線 \mathbb^1 の部分空間 \cup は局所連結だが連結でない。3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間であるSteen & Seebach, pp. 137–138。 4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 \mathbb は連結でも局所連結でもない。5. は弧状連結だが局所弧状連結でない。6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結（実は既約）であるが、局所弧状連結でないSteen & Seebach, pp. 49–50。 さらなる例は記事で後で与えられる。」の詳細全文を読む
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