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数論では、志村多様体(Shimura variety)は、Q 上に定義された簡約代数群の(congruence subgroup)による(Hermitian symmetric space)として現れるモジュラ曲線の高次元の類似物である。「志村多様体」ということばは、高次元の場合に適用され、1次元の場合には「志村曲線」と呼ばれる。やは志村多様体の最もよく知られている場合である。 志村多様体の特別な例としては、元来は、虚数乗法論の一般化の中で、志村五郎により導入された。志村は最初は解析的に定義していたが、それらが数論的な対象であることを示した。この意味は、志村多様体が数体上の反映する体であり、モデルという意味である。1970年代に、ピエール・ドリーニュ(Pierre Deligne)は、志村の仕事の公理的なフレームワークを作り出した。同時期にロバート・ラングランズ(Robert Langlands)は、ラングランズ・プログラムが検証されることが可能であり、(Motivic L-function)と保型形式のL-函数の同値性のある自然な例を志村多様体が作り上げることに注目した。志村多様体のコホモロジーの中に現れる保型形式は、一般的な保型形式よりも研究しやすい。特に、それらへのガロア表現をもつように構成することができる。 == 定義 == === 志村データ === S = ResC/R Gm を複素数から実数への乗法群の(Weil restriction)〔L/k を体の有限拡大とし、X を L 上に定義された代数多様体とする。k-スキーム(schemes)op から集合への函手 を次のように定義する。 : （特に、 の k-有理点は、X の L-有理である。この函手をする多様体をスカラーの制限といい、もし存在すれば一意に決定する。この函手 をヴェイユの制限(Weil restriction)と言う。〕とする。これは実代数群であり、群は R-点で、S(R) は C * で、C-点の群は C *×C * である。志村データ(Shimura datum)は、有理数体 Q 上で定義された簡約代数群 G と、次の公理を満たす群準同型 ''h'': S → GR の G(R)-共役類 X からなるペア (G, X) である。 * X の任意の h でウェイト(weight)が (0,0), (1,−1), (−1,1) のものは、gC の中にある、つまり、複素化された G のリー代数は下記の直和に分解する。 :: :ここに、任意の z ∈ S に対して、h(z) は最初の加える数に自明に作用し、 (それぞれ ）を通して第二の（第三の）加える数（第三の和）へそれぞれ作用する。
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