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数学における拡張実数（かくちょうじっすう、; 拡大実数）は、実数の全てに加えて、さらに無限大を加えた数である。アフィン拡張実数 (''affinely extended real number'') では正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ の2つを、射影拡張実数（しゃえいかくちょうじっすう、）では1つの無限大 ∞（正と負の区別がない（できない）無限遠点）を付け加える。 新しく付け加えられた元（無限大、無限遠点）は（通常の）実数ではないが、文脈によってはこれらを含めた全ての拡張実数を指して便宜的に「実数」と呼ぶこともあり、その場合通常の実数は有限実数と呼んで区別する〔ブルバキ, p.115〕。拡張実数の概念は、微分積分学や解析学（特に測度論と積分法）において種々の函数の極限についての記述を簡素化するのに有効である。（アフィン）拡張実数全体の成す集合 は、その上の適当な順序構造や位相構造などを持つものとして補完数直線（ほかんすうちょくせん、; 拡張実数直線）と呼ばれ、 や と書かれる。 文脈から意味が明らかな場合には、正の無限大の記号 +∞ はしばしば単に ∞ と書かれる。 文脈から意味が明らかな場合には、正の無限大の記号 +∞ はしばしば単に ∞ と書かれる。 == 意義 == === 極限 === 函数 ''f''(''x'') において、引数 ''x'' や函数値 ''f''(''x'') がある意味で「非常に大きく」なるときのふるまいを記述したい場面というのはよくある。例えば函数 : を考えると、グラフは ''g''(''x'') = 0 を水平漸近線に持つ。幾何学的に、''x''-軸を右へどんどん辿って行けば、1/''x''2 の値は 0 へ近づく。この極限的な振る舞いというのは、''x'' が何らかの実数へ近づくときの函数の極限と、''x'' が近づく実数がないことを除けば同じである。 仮に、実数の集合 R に二つの元 +∞ と −∞ を添加するとすれば、「無限遠における極限」を R におけると同様の位相的性質を以って定式化することができる。 事を完全に厳密にするには、R の有理コーシー列による定義において、さらに任意の ''K'' > 0 に対して十分大きな番号の項で ''K'' を超えるものが取れるような有理コーシー列全体の成す集合として +∞ を、同様の仕方で −∞ を、それぞれ定義することにすればよい。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「拡大実数」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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