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数学、特に抽象代数学において、次数付き環(じすうつきかん、; 次数付けられた環)あるいは次数環とは を満たすアーベル群 の直和として表すことのできる環のことである。多項式環の斉次多項式への分解を一般化した概念である。添え字集合は通常非負の整数の集合か整数の集合であるが、任意のモノイドあるいは群でもよい。直和分解は通常次数化(gradation)あるいは次数付け(grading)と呼ばれる。 次数(付き)加群(graded module)は同様に定義される(正確な定義は下を見よ)。これはの一般化である。次数付き環でもあるような次数付き加群は次数付き代数(graded algebra)と呼ばれる。次数付き環は次数付き Z-代数と見なすこともできる。 結合性は次数付き環の定義において重要でない(実は全く使われない)。したがってこの概念は非結合的多元環に対しても適用できる。例えば、を考えることができる。 == 基本的な性質 == を次数付き環とする。 * は ''A'' の部分環である〔。(とくに、加法の単位元 0 と乗法の単位元 1 は次数 0 の斉次元である。) * 各 は -加群であるネーター環であるのは、 がネーター的かつ ''A'' が 上の多元環として有限生成であるとき、かつそのときに限る。そのような環に対して、生成元を斉次にとることができる。 分解の任意の因子 の元は次数 ''i'' の斉次元(homogeneous elements)と呼ばれる。 イデアルや他の部分集合 ⊂ ''A'' が斉次(せいじ、homogeneous)であるとは次を満たすことである。任意の元 ''a'' ∈ に対して、すべての ''ai'' を斉次元として ''a=a1+a2+...+an'' であるときに、すべての ''ai'' が の元である。与えられた ''a'' に対し、これらの斉次元は一意的に定義され、''a'' の斉次部分(homogeneous parts)と呼ばれる。 ''I'' が ''A'' の斉次イデアルであれば、 も次数付き環であり、次の分解をもつ。 : 任意の(次数付きでない)環 ''A'' は ''A''0 = ''A'' および ''i'' > 0 に対して ''A''''i'' = 0 とすることによって次数付きにできる。これは ''A'' の自明な次数化(trivial gradation)と呼ばれる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)』 ■ウィキペディアで「次数付き環」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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