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線型代数学において、体 F 係数の 行列 の F 上の最小多項式（さいしょうたこうしき、）とは、F-係数のモニック多項式 ''p''(''x'') であって、''p''(''A'') が零行列となるようなものの中で次数最小のものを言う。''q''(''A'') = 0 となる F-係数多項式 ''q''(''x'') は最小多項式 ''p''(''x'') で割り切れる。 次の3つの主張は同値である： # λ ∈ F は、''A'' の最小多項式 ''p''(''x'') の根である。 # λ ∈ F は、''A'' の固有多項式の根である。 # λ ∈ F は、''A'' の固有値である。 ''A'' の最小多項式 ''p''(''x'') における根 λ の重複度は、λ に対応する ''A'' のジョルダン細胞の最大次数を表す。 一般に、最小多項式は固有多項式と一致するとは限らない。例えば、4''In'' を考える。（''In'' は ''n'' 次単位行列。）この行列の固有多項式は である。一方、 であることから、最小多項式は である。従って、 ならば、4''In'' の最小多項式と固有多項式は一致しない。 ケーリー・ハミルトンの定理と上の注意により、最小多項式は常に固有多項式を割り切ることが従う。 ==定義== 体 F 上の有限次元ベクトル空間 ''V'' 上の線型変換 ''T'' に対し、 : とおく。ここで F は、F 上の一変数多項式環を表す。 は、F の真のイデアルとなる。F は体だから F は主イデアル整域であり、任意のイデアルは F の単元倍を除いて一意的な1つの多項式によって生成される。したがってとくに ''I''''T'' の生成元としてモニックな多項式をとることができ、これを ''T'' の最小多項式と言う。最小多項式は、 中のモニック多項式の中で次数が最小のものである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「最小多項式 (線型代数学)」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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