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有理数（ゆうりすう、) とは、二つの整数 ''a'', ''b'' （ただし ''b'' は 0 でない）をもちいて ''a''/''b'' という分数で表せる数のことをいう。''b'' = 1 とすることにより、任意の整数は有理数として扱うことができる。 有理数を十進法などの位取り記数法を用いて小数表示した場合、どの有理数も位取りの基数のとり方に関わらず有限小数または循環小数のいずれかとなる（もちろん、ある基数で表示したとき有限小数となる有理数が、別の基数では循環小数となったりすること、あるいはその逆になることはある）。同様に、有理数は必ず有限正則連分数展開を持つ。 有理数全体のつくる集合はしばしば、太字の Q で表す。これは最初ペアノによって1895年に〔Jean C. Baudet (2005), ''Mathématique et Vérité. Une philosophie du nombre'', Paris, éd. L'Harmattan, coll. « Ouverture philosophique », ISBN 978-2-296-39195-6, partie « Mais c'est quoi, un nombre ? », chap. « Les ensembles de nombres », note 11, p. 124 : « L'ensemble des nombres rationnels est généralement désigné par la lettre Q. Notation proposée par Giuseppe Peano en 1895, de l'italien ''quoziente'' (quotient). »〕商を意味するイタリア語 ''quoziente'' からそのように表記された。手書きするときなどには Q に縦棒を一本加えた文字にするため、書籍等で黒板太字と言われる書体で を使うこともある。すなわち、 : である（ただし、Z は全ての整数からなる集合を表す）。ここで、各個の有理数に対して、それをあらわす分数 ''a''/''b'' は一般に複数（しかも無数に）存在することは留意すべき事実である。通常は個々の文脈に適した形を選んで利用する。すなわち厳密に言えば、分数 ''a''/''b'' は整数 ''a'', ''b'' の組の属する同値類（の代表元）を表しているのであり（形式的な構成節参照）、有理数全体の成す集合 Q は商集合の最も典型的で身近な例となっている。 有理数の距離空間としての完備化（適当な距離に関する「無限小数」展開を考えることに相当）として、実数や ''p''-進数が得られる（後述。あるいはコーシー列・デデキント切断等を参照）。有理数ではない実数は無理数と呼ばれる。また、すべての有理数係数多項式の根の全体は体を成し（Q の代数閉包）、その元を代数的数と呼ぶ。 == 用語法について == ''rational number'' は原義として （ = 、) の有る数という意味であり、''a''/''b'' は ''b'' に対して ''a'' の示す比の値（''a'' が ''b'' に占める割合）を意味する。それゆえ「有比数」とでも訳した方がよいのではというのがしばしば話のネタにされる〔一松信『√2の数学 無理数を見直す』海鳴社、1990年 ISBN 978-4875250562〕〔志賀浩二『数の世界』岩波書店、1992年 ISBN 978-4001152722〕〔長岡亮介『本質の研究数学Ⅰ+A』旺文社、2004年 ISBN 978-4010332115〕〔吉田武『オイラーの贈物 人類の至宝eiπ=-1を学ぶ』東海大学出版会、2010年 ISBN 978-4486018636〕〔吉田武『虚数の情緒 中学生からの全方位独学法』東海大学出版会、2000年 ISBN 978-4486014850〕。 数学の各所で、有理数体 Q を基礎とする（すなわち、Q 上定義される）概念に対して、「有理—」というような接頭辞を付けるということがしばしば行われる。例えば、有理数でもあるような代数的整数を「有理整数」（これはつまり、初等代数学で扱われる通常の整数のことにほかならない）という。あるいは、成分が有理数であるような行列を「有理行列」と言ったり、有理数係数の多項式を「有理多項式」と呼んだりする（「有理数体上の多項式」とも言う）。あるいは何らかの点集合で、成分が全て有理数であるような点を「有理点」と呼ぶ（代数群の有理点など）。 一方で、「有理—」という名称でありながら、前述のような意味ではないものもたくさんある。例えば、有理函数は基礎体が有理数体であるという意味ではなく、「多項式の比」になっているような函数という意味である。同様に、有理代数曲線は有理数係数の代数曲線という意味ではない。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「有理数」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Rational number 」があります。 スポンサード リンク
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