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楕円曲線のハッセの定理(Hasse's theorem on elliptic curves)は、ハッセの境界とも呼ばれ、有限体上の楕円曲線の持つ点の数の、上と下からの評価を与える。 位数 ''q'' の有限体上の楕円曲線 ''E'' の点の数が ''N'' であるとき、ヘルムート・ハッセ(Helmut Hasse)の結果は、その個数が : であることを示している。つまり、この解釈は、''N'' が ''q'' + 1 (これは同じ体の上の(projective line)の点の数である)と異なっていれば、この差「エラー項」は、絶対値が である2つの複素数の和である。 この結果は、(Emil Artin)により彼の論文で元々予想されたものである。 これは1933年にハッセ(Hasse)により証明され、証明は一連の論文で出版された。〔 〕 ハッセの定理は、E の局所ゼータ函数の根の絶対値の決定と同値である。この形で、楕円曲線に付随する函数体のリーマン予想との類似を理解することができる。 == ハッセ・ヴェイユ境界 == ハッセ境界の高次種数の代数曲線への一般化はハッセ・ヴェイユ境界である。これは、有限体上の曲線の点の数の範囲をもたらす。位数が q の有限体 上の種数 g の曲線 C の点の数を とすると、 : となる。 この結果は再び、曲線 C の局所ゼータ函数の決定と同値であり、この曲線に付随する函数体についてのリーマン予想の類似である。 ハッセ・ヴェイユ境界は、g = 1 である楕円曲線へ適用したときの普通のハッセ境界を導く。 ハッセ・ヴェイユ境界は、元々はアンドレ・ヴェイユ(André Weil)が1949年に提唱したヴェイユ予想の結果である。この予想は1974にピエール・ドリーニュ(Pierre Deligne)より証明された。
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