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沈め込み[しずめこみ]
数学において、沈め込み (submersion) とは、可微分多様体間のであってがいたるところ全射であるもののことである。これは微分トポロジーにおいて基本的な概念である。沈め込みの概念ははめ込みの概念の双対である。
== 定義 ==
''M'' と ''N'' を可微分多様体とし、''f'': ''M'' → ''N'' をそれらの間のとする。写像 ''f'' が点 ''p'' ∈ ''M'' において沈め込みであるとは、
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が全射線型写像であることをいう〔. . . . . . .〕。このとき ''p'' を写像 ''f'' の正則点 (regular point) と呼び、そうでないとき臨界点 (critical point) と呼ぶ。点 ''q'' ∈ ''N'' が ''f'' の正則値 (regular value) であるとは、原像 ''f''−1(''q'') のすべての点 ''p'' が正則点であることをいう。すべての点において沈め込みである可微分写像 ''f'' を沈め込みと呼ぶ。同じことであるが、''f'' が沈め込みであるとは、微分 ''Df''''p'' のが全ての点で ''N'' の次元に等しいということである。
注意：「正則点」という用語を ''f'' の ''p'' におけるヤコビ行列の階数が最大でない点を記述するために用いる著者もいる〔.〕。実際これはにおいてより有用な概念である。''M'' の次元が ''N'' の次元に等しいかより大きいならば、臨界点のこれら2つの概念は一致する。しかし、''M'' の次元が ''N'' の次元よりも小さければ、上の定義によればすべての点は臨界点である（微分は全射になり得ない）が、（dim ''M'' に等しければ）ヤコビ行列の階数はなお最大たりうる。上の定義は例えばサードの定理の定式化においてはより広く使われている。
抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』
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