流線曲率の定理について

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流線曲率の定理：ミニ英和和英辞書

流線曲率の定理[りゅうせんきょくりつのていり]
=====================================
〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。

・流： [りゅう]
　 1. (n,n-suf) style of　2. method of　3. manner of　4. school (of thought)　
・曲： [きょく, くせ]
　【名詞】 1. a habit (often a bad habit, i.e. vice)　2. peculiarity
・曲率： [きょくりつ]
　(n) curvature
・定理： [ていり]
　【名詞】 1. theorem　2. proposition
・理： [り]
　【名詞】 1. reason　

流線曲率の定理：ウィキペディア日本語版

流線曲率の定理[りゅうせんきょくりつのていり]

流線曲率の定理（りゅうせんきょくりつのていり、）は、非粘性流体 (完全流体) の外力が無視できる定常な流れにおいて、流線の曲率中心方向に圧力が低くなることを述べた定理である〔
〕〔
〕。
ベルヌーイの定理と同様に、流線曲率の定理は定常オイラー方程式の成分分解から得られる。
流線曲率の定理は

流線が曲がると速度の方向が変化するので内向きに加速度 (向心加速度) が発生する。完全流体の外力のない流れでは加速度を生み出す力は圧力勾配以外にはないので、流線が曲がっているところでは外側から内側へと圧力が減少する。

ことを表したもので、

r

を流線の曲率中心 (流線の一部を円弧とする円の中心) からの距離とすると、以下のように表現できる:
:外力がない、定常・非粘性な流れにおいて
:

= \rho ~(>0)

:が成り立つ。ただし、

p

: 圧力、

\rho

: 密度、

v

: 速さである。
流線曲率の定理は

流れと一緒に動く系からみたとき、単位体積あたりの遠心力と圧力勾配の動径成分が釣り合う

と解釈してもよい。渦の中心が周囲より低圧であることは流線曲率の定理を使って理解できる。
翼が揚力を発生するメカニズムの説明にベルヌーイの定理が使われることが多いが、流線曲率の定理でも説明することが可能である。(図を参照)
なお、英語名の"Streamline Curvature Theorem"は日本でしか通じない。英語圏の文献ではこの概念を表す名称はない〔
〕。
== 導出 ==
外力がない、定常な、非粘性流の運動方程式(定常オイラー方程式)
:

\boldsymbol\cdot\nabla \boldsymbol = -\nabla p

を考える。ここで

\boldsymbol

p

\rho

はそれぞれ速度、圧力、密度を表す。
この方程式を、
流線に対する
接単位ベクトル

\boldsymbol_s

、
主法線単位ベクトル

\boldsymbol_n

、
従法線単位ベクトル

\boldsymbol_b

からなるフレネ・セレ標構

\

を用いて成分表示することを考える〔
"4.5 Euler's Equation in Streamline Coordinates" pp.150-pp.152 (http://books.google.com/books?id=XGVpue4954wC&pg=150) を参照のこと。
〕。
流線は流れの速度ベクトルに接する曲線であるから、運動方程式の左辺は、以下のように記述できる:
:

\begin\boldsymbol\cdot\nabla \boldsymbol &= v(v\boldsymbol_s)     &(\boldsymbol = v \boldsymbol_s ,~        \equiv \boldsymbol_s\cdot\nabla)\\&= v\boldsymbol_s +  \boldsymbol_n &(\because~ =\boldsymbol_n)\end

ここで

R

は流線の曲率半径である。
よって、定常非粘性流れの運動方程式は以下のようになる。
:

\begin\displaystyle v = -\\\displaystyle                   = -    &(\equiv\boldsymbol_n\cdot\nabla)\\\displaystyle 0                              = - &(\equiv\boldsymbol_b\cdot\nabla)\end

第2式において、''r'' を曲率中心からの距離として方程式を書き換える。''e''_n = - ''e''_r であることからを $-$ に、そして''R'' を''r'' に書き換えれば、
流線曲率定理
: $= \rho$
が得られる。
なお、第1式はバロトロピック流れ ( $\rho=\rho(p)$ ) の場合
: $\left( + \int \right) =0$
と変形でき、ベルヌーイの定理を導ける。第3式は従法線方向に圧力は一定であることを表している。

'e''_n = - ''e''_r であることからを $-$ に、そして''R'' を''r'' に書き換えれば、
流線曲率定理
: $= \rho$
が得られる。
なお、第1式はバロトロピック流れ ( $\rho=\rho(p)$ ) の場合
: $\left( + \int \right) =0$
と変形でき、ベルヌーイの定理を導ける。第3式は従法線方向に圧力は一定であることを表している。

'_n = - ''e''_r であることからを $-$ に、そして''R'' を''r'' に書き換えれば、
流線曲率定理
: $= \rho$
が得られる。
なお、第1式はバロトロピック流れ ( $\rho=\rho(p)$ ) の場合
: $\left( + \int \right) =0$
と変形でき、ベルヌーイの定理を導ける。第3式は従法線方向に圧力は一定であることを表している。

'e''_r であることからを $-$ に、そして''R'' を''r'' に書き換えれば、
流線曲率定理
: $= \rho$
が得られる。
なお、第1式はバロトロピック流れ ( $\rho=\rho(p)$ ) の場合
: $\left( + \int \right) =0$
と変形でき、ベルヌーイの定理を導ける。第3式は従法線方向に圧力は一定であることを表している。

'_r であることからを $-$ に、そして''R'' を''r'' に書き換えれば、
流線曲率定理
: $= \rho$
が得られる。
なお、第1式はバロトロピック流れ ( $\rho=\rho(p)$ ) の場合
: $\left( + \int \right) =0$
と変形でき、ベルヌーイの定理を導ける。第3式は従法線方向に圧力は一定であることを表している。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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