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準同型（じゅんどうけい、）とは、複数の対象（おもに代数系）に対して、それらの特定の数学的構造に関する類似性を表す概念で、構造を保つ写像である準同型写像（じゅんどうけいしゃぞう、) を持つことを意味する。構造がまったく同じであることを表すときは、準同型・準同型写像の代わりに同型（どうけい、）および同型写像（どうけいしゃぞう、）という術語を用いる。しばしば、準同型写像・同型写像のことを指して単に準同型・同型と呼ぶ。いずれも、「型」の代わりに「形」が用いられることが稀にある。 == 定義と概要 == ''A'' を台集合として、代数的構造 ''R'' をもつ代数系を (''A'', ''R'') と記す。''R'' は演算と呼ばれる写像 の集まりである。同類である二つの代数系 (''A'', ''R''), (''B'', ''S'') (''R'' = λ∈Λ, ''S'' = λ∈Λ) に対し、(''A'', ''R'') から (''B'', ''S'') への準同型写像 (''f'', ''F''): (''A'', ''R'') → (''B'', ''S'') (''F'' = λ∈Λ) とは、台集合の間の写像 ''f'': ''A'' → ''B'' であって、''R'', ''S'' の各々対応する演算 αλ, βλ を可換にする（あるいは両立させる）写像 ''f''λ を引き起こすものをいう。つまり となる写像の組 (''f'', ''F'') を準同型写像と呼ぶのである。ここで、αλ, βλ は |''I''λ| 項演算であるものとする。通常は (''f'', ''F''): (''A'', ''R'') → (''B'', ''S'') を単に準同型 ''f'': ''A'' → ''B'' と略記する。 重要なことは、''A'' の演算と ''B'' の演算とが台集合上の写像 ''f'' のみで一対一に対応させることができるということである。これを、''f'' は構造を保存 する、構造と両立 する、構造と可換 であるなどといい表す。これにより、''A'' における演算が ''f'' で ''B'' に移されると考えることができる。特に、準同型写像 ''f'': ''A'' → ''B'' が与えられたとき、その像 ''f''(''A'') は ''B'' の部分代数系となる。このとき一般には、像 ''f''(''A'') はもとの代数系 ''A'' からある程度 "つぶれている" ため、像 ''f''(''A'') から直接にもとの代数系 ''A'' の様子を知ることは完全にはできないのであるが、この潰れ具合は準同型の核と呼ばれる同値関係によって推し量ることができ、それによってもとの代数系 ''A'' を復元することができる。一方、準同型 ''f'' が単射であれば ''A'' は ''B'' にその構造まで込めて埋め込まれる。ゆえに、単射な準同型をしばしば埋め込み（うめこみ、）と呼ぶ。なお、単射な準同型、全射な準同型はそれぞれ単準同型（たんじゅんどうけい、）、全準同型（ぜんじゅんどうけい、）とも言われる。 準同型写像 ''f'' が逆写像 ''f''−1 を持ち、なおかつ ''f''−1 もまた準同型であるとき、''f'' は同型写像あるいは単に同型であるという。''f'' が同型ならば ''f''−1 も同型である。ある数学的構造を持つ二つの集合 ''A'', ''B'' の間に準同型写像が存在するとき、''A'' と ''B'' とは準同型であるといい、さらに同型写像が存在するとき同型であるという。互いに同型な集合はその構造に関しては同じものとみなすことができる。 体の準同型（単位元を持つ環としての準同型）は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる。ゆえに体の場合は準同型といわず中への同型 とよび、さらに全射ならば上への同型 であるという。また、群や環の準同型、ベクトル空間の線型写像（環上の加群としての準同型）は全単射ならば同型である。 まったく同じ写像でも、ある構造に注目したときは準同型を与えるけれども、始域・終域にさらに構造をいれたり、他の構造を持つ集合と見たりしたときには準同型でないことがありうる。したがって、同時にいくつもの構造を併せ持つ集合たちの間の準同型を扱う時には、それがどの構造と可換であるかをはっきりさせる必要が生じる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「準同型」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Homomorphism 」があります。 スポンサード リンク
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