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方程式（ほうていしき、、）とは、数学において、1つ以上の変数を含む等式であり、変数の値に対して等式が成り立つか、成り立たないかの２値が導かれる関数の一種である。方程式を''解く''ことは変数がどのような値のときに等式が成り立つかを決定することであり、等式を成り立たせる変数の値の集合を、方程式の''解''と呼ぶ。この文脈で変数は''未知数''とも呼ばれる。''解''は、未知数の値と考えてよい。恒等式とは異なり、方程式は変数の取り得るすべての値に対して等式が成り立つ必要はない〔Cette définition s'inspire de .〕〔Une autre source propose une définition du même esprit : . « ''Equation'' », dans ', et (éd.), Van Nostrand, 1968, 3e éd. (1re éd. 1948), .〕。 方程式には様々な種類があり、数学のすべての分野において目にする。方程式を調べるために使われる方法は方程式の種類に応じて異なる。 代数学は特に2種類の方程式を研究する：''多項式の方程式''と、中でも''線型方程式''である。多項式方程式は、''P'' をある多項式として、''P''(''X'') = 0 の形である。線型方程式は、''a'' を線型写像、''b'' をベクトルとして、''a''(''x'') + ''b'' = 0 の形である。それらを解くために、線型代数学や解析学から来る、アルゴリズム的あるいは幾何学的手法を用いる。変数の動く範囲を変えることにより方程式の性質が大幅に変わり得る。代数学はディオファントス方程式、すなわち係数と解が整数の方程式も研究する。用いられる手法は異なり、本質的に数論のものである。これらの方程式は一般に難しい。しばしば解の存在あるいは非存在を決定し、存在するときはその個数を調べるだけである。 幾何学は図形を記述するために方程式を利用する。目的はやはり前の場合とは異なり、方程式は幾何学的性質を調べるために利用される。この文脈では方程式の種類に2つの大きなものがある。直交座標系における方程式とパラメトリック方程式である。 解析学は ''f''(''x'') = 0 の形の方程式を研究する。ここで ''f'' は、連続、微分可能、収縮、といったある種の性質を持った関数である。解析学の手法では方程式の解に収束する列を構成できる。目的はできるだけ正確に解を求められるようにすることである。 微分方程式は1つ以上の関数とその導関数を含む方程式である。導関数を含まない関数の表示を見つけることによって解かれる。微分方程式は物理学、化学、生物学、経済学のような分野において、実生活の過程をモデルするために使われる。 力学系は、解が列、あるいは、一変数あるいは多変数の関数であるような方程式によって定義される。中心的な問題が2つある。始状態と''漸近的挙動''である。各初期条件、例えば列あるいは関数の0での値、に対し、方程式は一意的な解を持つ。始状態の少しの変更によって解が少し変わることもある。しかしすべての場合でそうというわけではなく、初期条件のこの''鋭敏性''は第一の問題の目的である。解の極限でのあるいは漸近的振る舞いは変数が無限大に行くときの解の形に対応し、この振る舞いが第二の問題の目的である。解が発散しなければ、次のいずれかとなる。1つの値に近づくか、あるいは、循環的な振る舞い（周期関数か、値が同じ有限集合を同じ回数ずっと動き続ける列）に近づくか、あるいは、解が定義により決定的であったとしてもランダムに進展するように見えるカオスな振る舞いをする。 "=" という記号は (Robert Recorde, 1510–1558) によって発明された。同じ長さの平行な直線よりも等しかり得るものは存在しないと考えたのである。 方程式には様々な種類があり、数学のすべての分野において目にする。方程式を調べるために使われる方法は方程式の種類に応じて異なる。 代数学は特に2種類の方程式を研究する：''多項式の方程式''と、中でも''線型方程式''である。多項式方程式は、''P'' をある多項式として、''P''(''X'') = 0 の形である。線型方程式は、''a'' を線型写像、''b'' をベクトルとして、''a''(''x'') + ''b'' = 0 の形である。それらを解くために、線型代数学や解析学から来る、アルゴリズム的あるいは幾何学的手法を用いる。変数の動く範囲を変えることにより方程式の性質が大幅に変わり得る。代数学はディオファントス方程式、すなわち係数と解が整数の方程式も研究する。用いられる手法は異なり、本質的に数論のものである。これらの方程式は一般に難しい。しばしば解の存在あるいは非存在を決定し、存在するときはその個数を調べるだけである。 幾何学は図形を記述するために方程式を利用する。目的はやはり前の場合とは異なり、方程式は幾何学的性質を調べるために利用される。この文脈では方程式の種類に2つの大きなものがある。直交座標系における方程式とパラメトリック方程式である。 解析学は ''f''(''x'') = 0 の形の方程式を研究する。ここで ''f'' は、連続、微分可能、収縮、といったある種の性質を持った関数である。解析学の手法では方程式の解に収束する列を構成できる。目的はできるだけ正確に解を求められるようにすることである。 微分方程式は1つ以上の関数とその導関数を含む方程式である。導関数を含まない関数の表示を見つけることによって解かれる。微分方程式は物理学、化学、生物学、経済学のような分野において、実生活の過程をモデルするために使われる。 力学系は、解が列、あるいは、一変数あるいは多変数の関数であるような方程式によって定義される。中心的な問題が2つある。始状態と''漸近的挙動''である。各初期条件、例えば列あるいは関数の0での値、に対し、方程式は一意的な解を持つ。始状態の少しの変更によって解が少し変わることもある。しかしすべての場合でそうというわけではなく、初期条件のこの''鋭敏性''は第一の問題の目的である。解の極限でのあるいは漸近的振る舞いは変数が無限大に行くときの解の形に対応し、この振る舞いが第二の問題の目的である。解が発散しなければ、次のいずれかとなる。1つの値に近づくか、あるいは、循環的な振る舞い（周期関数か、値が同じ有限集合を同じ回数ずっと動き続ける列）に近づくか、あるいは、解が定義により決定的であったとしてもランダムに進展するように見えるカオスな振る舞いをする。 "=" という記号は (Robert Recorde, 1510–1558) によって発明された。同じ長さの平行な直線よりも等しかり得るものは存在しないと考えたのである。 == 概要 == 方程式の最も典型的な形は未知数 () と呼ばれる項を含んだ等式である。方程式における未知数はしばしば などの特定の慣習的な文字によって表され、「様々に値を変える数である」という観点から変数 () と呼ばれたり、あるいは「特定の値を持つわけではない」という観点から不定元 () と呼ばれることもある。 方程式に含まれる変数に対して、変域と呼ばれるある特定の範囲の値で変数を置き換える操作を考えることができるが、これは代入と呼ばれる。各変数に代入されるべきものは、数値・関数・式など様々であり、それぞれの変数がどのような変域を持つかは文脈に依存している。 未知数に値の代入が行われて初めて、方程式が等式として成立するか否かの評価が行われる。そして、与えられた方程式を等式として成立させるような未知数の値を方程式の解と呼び、方程式の解を全て求めることを方程式を解くと言う。ふつう方程式の解は変域のとりうる任意の値ではなく、何らかの特定の値に制限を受け、時には存在しない場合すらありうる。 実数（または単位的環）全体を変域とする変数 に関する等式 : のような、変数にどんな値を代入しても成り立つ方程式はその変域上の恒等式と呼ばれる。 一般には1つの方程式に変数が1つであるとは限らない。代入の際に同じ文字は同じ値をとるという約束の下で変数が複数存在する方程式を多元方程式あるいは多変数方程式 などと言う。あるいはさらに、方程式として与えられる等式が1つである必要はない。方程式が1つではなく複数ある時、やはり同じ文字は同時に同じ値をとるという前提が成り立つならば、方程式は系をなすや連立するなどと言い、その複数本の方程式を一括りにして方程式系（ほうていしきけい、）もしくは連立方程式（れんりつほうていしき、）などと呼ぶ。「''多変数の方程式や連立方程式を解く'' 」という場合、それが「''与えられた方程式系を、命題として同値性を保ちながら、より単純な形の方程式系に帰着させる'' 」という意味を指している場合もある。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「方程式」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Equation 」があります。 スポンサード リンク
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