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二項演算 * に関して群 ''G'' が与えられたとする。 ''G'' の部分集合である ''H'' が ''G'' の部分群であるということは、 ''H'' が演算 * に関して群になるということである。より正確に表現すると、 ''H'' が ''G'' の部分群であるということは、群の演算 * を ''H×H'' （Hの直積）に制限したときに、 ''H'' における群の演算になっているということである。この関係は通常、 ''H'' ≤ ''G'' という記号で表現し、「 ''H'' は ''G'' の部分群である」と読む。 ''G'' の真部分群とは、部分群 ''H'' が ''G'' の真部分集合である（つまり ''H''≠''G'' である）ことである。任意の群 ''G'' に対し、''G'' 自身と単位元のみからなる集合 は常に ''G'' の部分群である。 ''H'' が ''G'' の部分群であるとき、 ''G'' は ''H'' の拡大群であると表現する場合がある。 ''G'' が任意の半群であるときも、''G'' の部分群の定義はそのまま通用するが、本項では群の部分群についてのみを扱うにとどめる。群 ''G'' は順序対 (G, ∗) として記述されることもあるが、このように書くのは普通、''G'' を台となる集合としてその上に演算 "∗" が代数的構造（あるいはもっとほかの構造）を定めるということを強調するためである。 以下では、通常の慣習に倣って ∗ を省略し、積 ''a'' ∗ ''b'' を単に ''ab'' と表記する。また、群の演算を単に「積」と表記する場合もある。 ==部分群の基本的な性質== * ''H'' が群 ''G'' の部分群であるということは、 ''H'' が空集合ではなく、演算と逆元に対して閉じているということを意味する（「閉じている」というのは「 ''H'' に含まれる任意の元 ''a'' および ''b'' について、 ''ab'' および ''a''−1 も ''H'' に含まれる」ということである。なおこの2つの条件は、同値な1つの条件にまとめることができる。「 ''H'' に含まれる任意の元 ''a'' および ''b'' について、 ''ab''−1 も ''H'' に含まれる」という条件である）。 ''H'' が有限集合の場合、 ''H'' が部分群であるということは、 ''H'' が積に関して閉じているということと同値である（この場合、 ''H'' の任意の元は、 ''H'' の有限巡回部分群を生成する。そして ''a'' の逆元は、 ''a'' の位数が ''n'' ならば ''a''−1 = ''a''''n'' − 1 となる）。 * 上記の条件は準同型の言葉で書き換えることができる。つまり ''H'' が ''G'' の部分群となる必定十分条件は、''H'' が ''G'' の部分集合で、''H'' から ''G'' への包含写像（任意の ''a'' ∈ ''H'' に対して i(''a'') = ''a'' となる写像）が準同型を与えることである。 * 部分群の単位元は群の単位元と等しい。つまり、''G'' が ''e''''G'' を単位元とする群で、''H'' が ''e''''H'' とする ''G'' の部分群ならば ''e''''H'' = ''e''''G'' でなければならない。 * 部分群のある元の逆元は、もとの群におけるその元の逆元と等しい。つまり ''H'' が群 ''G'' の部分群であり、''a'', ''b'' が ''H'' の元で ''ab'' = ''ba'' = ''e''''H'' を満たすならば ''ab'' = ''ba'' = ''e''''G'' が成り立つ。 *部分群 ''A'' と ''B'' の共通部分はまた部分群になる。一方、部分群 ''A'' と ''B'' の和集合が部分群になるのは、 ''A'' と ''B'' の一方が他方を包含している場合のみに限られる〔Jacobson (2009), p. 41〕。たとえば、2 と 3 はともに加法群としての 2Z と 3Z の和集合に含まれるが、それらの和である 5 はこの和集合には属さない。別の例では、平面上のX軸とY軸（加法について考える）がある。それぞれは部分群をなすが、それらの和集合は部分群にならない。ついでながら、これら二つの部分群の共通部分は、単位元である原点のみの部分群となる。 * ''S'' が ''G'' の部分集合ならば ''S'' を含む最小の部分群が存在する。これは ''S'' を含む部分群すべての共通部分をとることによって求められる。これを記号 ⟨''S''⟩ で表し、「 ''S'' から生成される部分群」とよぶ。 ''G'' のある元が ⟨''S''⟩ に含まれるという事は、その元は ''S'' の元および ''S'' の元の逆元の有限個の積で表されるという事である。 * ''G'' の任意の元 ''a'' は巡回群 ⟨''a''⟩ を生成する。 ⟨''a''⟩ が適当な正の整数 ''n'' に対する Z/''n''Z と同型であるならば、''n'' は ''a''''n'' = ''e'' を満たす最小の正整数である。この ''n'' を ''a'' の位数 という。もし ⟨''a''⟩ が Z と同型ならば、 ''a'' は無限位数を持つ、あるいは ''a'' の位数は無限大であるという。 * 与えられた群の部分群全体の成す集合は、包含関係に関して完備束になる。これを部分群の束と言う（この束の下限は通常の集合論的な意味での共通部分だが、上限は集合論的な意味での和集合ではなく、それから生成される部分群である）。''G'' の単位元を ''e'' と書けば、単位群 が ''G'' の最小の部分群であり、また最大の部分群は ''G'' そのものである。 * 与えられた群の部分群全体の成す集合は、包含関係に関して完備束になる。これを部分群の束と言う（この束の下限は通常の集合論的な意味での共通部分だが、上限は集合論的な意味での和集合ではなく、それから生成される部分群である）。''G'' の単位元を ''e'' と書けば、単位群 が ''G'' の最小の部分群であり、また最大の部分群は ''G'' そのものである。 Z と同型ならば、 ''a'' は無限位数を持つ、あるいは ''a'' の位数は無限大であるという。 * 与えられた群の部分群全体の成す集合は、包含関係に関して完備束になる。これを部分群の束と言う（この束の下限は通常の集合論的な意味での共通部分だが、上限は集合論的な意味での和集合ではなく、それから生成される部分群である）。''G'' の単位元を ''e'' と書けば、単位群 が ''G'' の最小の部分群であり、また最大の部分群は ''G'' そのものである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「部分群」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Subgroup 」があります。 スポンサード リンク
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