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抽象代数学における環の局所化（きょくしょか、）あるいは分数環 、商環 〔ここでいう「分数環」や「商環」は、「分数体」や「商体」と同様の語法であって、剰余環の別名としての「商環」(quotient ring) とは異なる。商体や全商環は本項にいう意味での商環の特別な場合になっている（例節を参照）。〕 は、環に乗法逆元を機械的に添加する方法である。すなわち、環 とその部分集合 が与えられたとき、環 と から への環準同型を構成して、 の準同型像が における単元（可逆元）のみからなるようにする。さらに、が「可能な限りで最良な」あるいは「最も一般な」ものとなるようにするということを考える（こういった状況はふつうは普遍性によって表されるべきものである）。環 の部分集合 による局所化は で表され、あるいは が素イデアル の補集合であるときには で表される。 のことを と表すこともあるが、通常混乱の恐れはない。 局所化は完備化と重要な関係があり、環を局所化すると完備になるということがよくある。 == 用語について == 「局所化」の名の起源は代数幾何学にある。 はある幾何学的対象（代数多様体）の上で定義された函数環とする。この多様体を点 の近傍で「局所的に」調べようとするならば、 の近傍で 0 でないような函数全体の成す集合 を考えることになる。その意味で、 を に関して局所化して得られる環 は の近傍における の挙動についての情報のみをふくんでいる（局所環も参照）。 数論および代数的位相幾何学において、数 「における」環や空間とか、 から「遠い」などという言及をすることがある。「 から遠い」("away from ") の意味は、「その環の中で が可逆」（従って、Z-代数になる）ということである。例えば、体については「素数 から遠い」と言えば「その体の標数は と異なる」という意味になる。Z は「2 から遠い」が F2 や Z はそうではない。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「環の局所化」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Localization of a ring 」があります。 スポンサード リンク
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