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数学の位相空間論において、第一可算空間（だいいちかさんくうかん、）とは、"第一可算公理"を満たす位相空間のこと。位相空間 ''X'' が第一可算公理を満たすとは「各点 ''x'' が高々可算な近傍からなる基本近傍系（局所基）をもつこと」を指す。すなわち''x'' の可算個の開近傍 ''U''1, ''U''2, …で以下の性質を満たすものが存在するということである：''x'' の任意の近傍 ''V'' に対しある が存在し、''V''は ''U''''i''を部分集合として含む。 == 例と反例 == 普通に使われる空間のほとんどは第一可算的である。特に、距離空間はすべて第一可算的である。というのは、各点 ''x'' に対し、それを中心とする半径 1/''n'' (''n'' は正の整数) の開球の系列は ''x'' の可算な基本近傍系となっている。 第一可算的でない空間の例として、補有限位相を入れた (実数直線などの) 非可算集合がある。 別の反例としては順序数空間 ω1+1 = [0, ω1] がある。ここで ω1 は最小の非可算順序数である。 点 ω1 は [0, ω1) の極限点であるが、そのどんな可算点列を持ってきても ω1 を極限としては持てない。特に、 ω1+1 = [0, ω1] の点である ω1 は可算な基本近傍系を持てない。部分空間である ω1 = [0, ω1) は第一可算的である。 商位相空間 R/N （実数直線上の自然数全体を一つの点と見なした空間）は第一可算的でない。しかしながら、この空間には「任意の部分集合 ''A'' とその閉包の任意の点 ''x'' に対し、''A'' の点列で ''x'' に収束するものがある」という性質がある。このような性質をもつ空間をフレシェ-ウリゾーン空間という。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「第一可算的空間」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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