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数学の順序理論の分野において、線型連続体(せんけいれんぞくたい、linear continuum)とは実数直線を一般化したものである。 正確には、線型連続体とは、上に有界な非空部分集合が上限をもつという意味で“ギャップ”を欠いており、稠密順序づけられた-つまり任意の二元の間に元が存在するような-空でない全順序集合''S'' のことである。 さらに記号的にいうと : a) ''S'' は上限性質をもつ。 : b) ''x'' < ''y'' であるような任意の''S''の元''x'',''y'' に対して、''x'' < ''z'' < ''y'' なる''S''の元''z''が存在する。 上限性質とは、いかなる空でない上に有界な部分集合は上限を持つということである。順序位相が与えられた順序集合が連結であるか否かを確かめるために使われる点で、線型連続体は特にトポロジーの分野で重要である。 == 例 == * 通常の順序を入れた実数の集合Rは典型的な例である。性質b)は自明である。性質a)は実数の連続性の同値な命題の一つである。 実数の例の他にも * 実数の集合と順序同型な集合たちである。例えば開区間や半開なギャップをもつ開区間である。(上で述べた意味での“ギャップ”は存在しないことに注意せよ。) * アフィン拡大実数とそれと順序同型な集合たちである。例えば:en:unit interval * 実数の集合に、無限大のみ（または無限小のみ）を添加した集合、及びそれと順序同型な集合。例えば半開区間。 * 長い直線 * ''I'' × ''I'' (×は直積を表し、''I'' =とする)は辞書式順序で線型連続体である。性質b)は自明。a)を確かめるには、π1 : ''I'' × ''I'' → ''I'' ::''π''1 (''x'', ''y'') = ''x''という写像を考える。この写像は射影写像として知られる。これは(''I'' × ''I'' 上の積位相に関して)連続であり、全射である。 :: さて、''A'' を ''I'' × ''I'' の上に有界な空でない部分集合とするとき、π1(''A'' ) を考える。''A'' は上に有界であるからπ1(''A'' ) もまた上に有界でなければならない。π1(''A'' ) は''I'' の部分集合であるから、π1(''A'' ) は上限をもつ(つまり、上限性質をもつ)。''b'' をπ1(''A'' ) の上限としよう。 :: もし、''b'' がπ1(''A'' )に属するならば、π1の全射性より、少なくとも一つの''c''∈ ''I'' に対して、''b'' × ''c'' は''A'' に含まれるから(''b'' × ''I'' )∩''A'' は空ではない。そこで、''b'' × ''I'' は''I'' と同じ順序型をもつことに注意すれば、ある''c' '' ∈ ''I''が存在して、(''b'' × ''I'' )∩''A'' は、''b'' × '' c' '' という上限をもち、これがまさしく''A'' の上限である。 :: もし、''b'' がπ1(''A'' )に属さないならば、''b'' × ''0'' は''A'' の上限である。なぜならば、もし''d'' < ''b'' なる''d'' と、ある''e''∈ ''I'' に対して、''d'' × ''e'' が''A'' の上界であるならば、''d''はπ1(''A'' ) の上界に属する''b'' より小さい元になってしまい、''b'' が上限であることに反する。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「線型連続体」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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