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数学において、与えられた群 ''G'' 上の加群（かぐん、）または ''G''-加群 とは、アーベル群 ''M'' であって ''M'' の群構造と両立する ''G'' の作用を持つものをいう。これは ''G'' の表現に広く一般に用いることのできる概念である。群コホモロジーは ''G''-加群の一般論の研究において重要な道具をいくつも提供する。 ''G''-加群という用語はもっといっぱんに、''G'' が線型に（つまり ''R''-加群の自己同型からなる群として）作用する ''R''-加群に対しても用いられる。 == 定義と基本事項 == ''G'' を群とする。左 ''G''-加群あるいは ''G''-左加群は、アーベル群 ''M'' に左からの群作用 ρ: ''G'' × ''M'' → ''M'' で : となるものをあわせて考えたものである。右 ''G''-加群、''G''-右加群 も右からの作用を考えて同様に定義される。左 ''G''-加群 ''M'' が与えられたとき、''G'' の右からの作用を : で定義することにより、''M'' を右 ''G''-加群にすることができる。 ''G''-加群 ''M'', ''N'' の間の写像 ''f'': ''M'' → ''N'' が ''G''-加群の準同型あるいは ''G''-線型写像、''G''-準同型であるとは、''f'' が ''G''-同変な群準同型であるときにいう。 左 ''G''-加群と ''G''-準同型全体のあつまりはアーベル圏 ''G''-Mod を成し、''G''-Mod は群環 Z 上の左加群の圏と同一視することができる。作用を右からに変えて得られる圏 Mod-''G'' についても同様である。 ''G''-加群 ''M'' の部分 ''G''-加群あるいは''G''-部分加群 または単に（''G''-加群としての、''G'' の作用まで込めた）部分加群とは、（抽象群としての）部分加群 ''A'' ⊆ ''M'' であって ''G'' の作用に関して不変、つまり任意の ''g'' ∈ ''G'' に対して、 : となるものをいう。''M'' とその部分加群 ''A'' が与えられたとき、商 ''G''-加群あるいは ''G''-商加群または剰余 ''G''-加群あるいは ''G''-剰余加群 ''M''/''A'' が、作用を考えない抽象群としての剰余群 ''M''/''A'' に ''G'' の作用を : とさだめることによって定まる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「群上の加群」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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