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数学において、自由加群(じゆうかぐん、) とは、加群の圏におけるである。集合 が与えられたとき、 上の自由加群とは基底 をもつ自由加群である。たとえば、すべてのベクトル空間は自由であり〔Keown (1975), 〕、集合上の自由ベクトル空間は集合上の自由加群の特別な場合である。任意の加群はある自由加群の準同型像である。 == 定義 == -加群 について、集合 が の基底であるとは、次の2条件を満たすことである。 # は を生成する。すなわち、 の任意の元は の元に の係数をかけたものの有限和である。 # は一次独立である。すなわち、任意の の互いに異なる有限個の元 に対して であれば、 となる。（ただし は の零元で、 は の零元である。） -加群 が基底をもつとき、 は自由加群であるという〔Hazewinkel (1989), 〕。 が invariant basis number をもてば、定義によって任意の2つの基底は同じ濃度をもつ。勝手な（したがってすべての）基底の濃度を自由加群 のランク（階数）と言い、濃度が有限ならば、 を''ランクnの自由加群''、あるいは単に''有限ランクの自由加群''と言う。 (2) から直ちにわかることだが、(1) の係数はすべての について一意的である。 無限自由基底の定義は、 が無限に多くの元をもつことを除いて、同様である。しかしながら、和は有限であり、どの についても の有限個の元しか含まれない。 基底が無限のとき、 のランクは の濃度である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「自由加群」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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