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付値（ふち、、賦値、附値とも）とは、単位元 1 を持つ環 ''R'' と ''G'' に対して、以下の3条件を満たす写像 ''v'': ''R'' → ''G'' ∪ である。 # ''v''(1) = 0, ''v''(0) = ∞ である。 # 任意の ''R'' の元 ''x'', ''y'' に対して、''v''(''xy'') = ''v''(''x'') + ''v''(''y'') が成り立つ。 # 任意の ''R'' の元 ''x'', ''y'' に対して、''v''(''x'' + ''y'') ≥ min(''v''(''x''), ''v''(''y'')) が成り立つ。 但し、∞ は ''G'' には属さない元で、''G'' の任意の元 ''a'' に対して * * * を満たすものとする。上記定義を満たす付値のことを ''R'' の 加法付値または一般付値ともいう。さらに ''G'' が実数体の加法部分群であるとき指数付値という。 特に ''R'' が体であるとき、 は ''G'' の加法部分群となり、これを ''v'' の値群という。 == 加法付値 == === 例 === # 1 を含む環 ''R'' に対して、 を 1 を含まない ''R'' の素イデアルとする。''R'' の元 ''a'' に対して v(a) = \begin 0 & (a\notin\mathfrak)\\ \infty & (a\in\mathfrak) \end # 体 ''K'' に対して、上記の例を適用することにより v(a) = \begin 0 & (a\in K^)\\ \infty & (a=0) \end # 素数 ''p'' と 0 ではない有理数 ''a'' に対して、 a = \frac \quad (e\ge 0,\, f\ge 0,\, (b, c) = 1,\, (bc,\ p) = 1) # 複素平面から複素平面への有理型関数の全体を ''K'' とする。複素平面上の点 ''P'' を一つ取り固定する。0 でない 有理型関数 ''f'' に対して、点 ''P'' で ''n''-位の零点であるとき ''v''(''f'') = ''n'', 零点でも極でもないとき ''v''(''f'') = 0, ''n''-位の極であるとき ''v''(''f'') = −''n'' と定めると、''v'' は ''K'' の加法付値となる。 # 体 ''K'' の 1-変数有理関数体 ''K''(''x'') の 0 でない元 ''f''(''x'') に対してと表したとき、''v''(''f'') = deg ''h'' − deg ''g'' と定義すると、''v'' は ''K''(''x'') の加法付値となる。 # α を無理数とし、体 ''K'' 係数の 0 でない多項式 p(x, y) = \sum_^m a_jx^j y^\quad (a_j\in K,\ m\ge 0) # 体 ''K'' の 0 でない ''n''-変数多項式 p(x_1,\ldots,x_n) = \sum_^\cdots\sum_^a_x_1^\cdots x_n^\quad (a_\in K,\ m_1,\ldots,m_n\ge 0) v(p) = \min\\in\mathbb^n # 体''K'' に対して、体 ''L'' を L = \bigcup_K(x_1,\ldots,x_n) v(f) = (j_1,\ldots,j_n,0,0,\ldots)\in\mathbb^\quad (f\in K(x_1,\ldots,x_n),\ v_n(f) = (j_1,\ldots,j_n)) # 複素平面から複素平面への有理型関数の全体を ''K'' とする。複素平面上の点 ''P'' を一つ取り固定する。0 でない 有理型関数 ''f'' に対して、点 ''P'' で ''n''-位の零点であるとき ''v''(''f'') = ''n'', 零点でも極でもないとき ''v''(''f'') = 0, ''n''-位の極であるとき ''v''(''f'') = −''n'' と定めると、''v'' は ''K'' の加法付値となる。 # 体 ''K'' の 1-変数有理関数体 ''K''(''x'') の 0 でない元 ''f''(''x'') に対してと表したとき、''v''(''f'') = deg ''h'' − deg ''g'' と定義すると、''v'' は ''K''(''x'') の加法付値となる。 # α を無理数とし、体 ''K'' 係数の 0 でない多項式 p(x, y) = \sum_^m a_jx^j y^\quad (a_j\in K,\ m\ge 0) # 体 ''K'' の 0 でない ''n''-変数多項式 p(x_1,\ldots,x_n) = \sum_^\cdots\sum_^a_x_1^\cdots x_n^\quad (a_\in K,\ m_1,\ldots,m_n\ge 0) v(p) = \min\\in\mathbb^n # 体''K'' に対して、体 ''L'' を L = \bigcup_K(x_1,\ldots,x_n) v(f) = (j_1,\ldots,j_n,0,0,\ldots)\in\mathbb^\quad (f\in K(x_1,\ldots,x_n),\ v_n(f) = (j_1,\ldots,j_n)) Z''n'' の辞書式順序に関して v(p) = \min\\in\mathbb^n # 体''K'' に対して、体 ''L'' を L = \bigcup_K(x_1,\ldots,x_n) v(f) = (j_1,\ldots,j_n,0,0,\ldots)\in\mathbb^\quad (f\in K(x_1,\ldots,x_n),\ v_n(f) = (j_1,\ldots,j_n)) 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「付値」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Valuation (algebra) 」があります。 スポンサード リンク
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