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超実数（ちょうじっすう、）または超準実数（ちょうじゅんじっすう、）と呼ばれる数の体系は無限大量や無限小量を扱う方法の一つである。超実数の全体 は実数体 の拡大体であり、 : の形に書ける如何なる数よりも大きい元を含む。そのような数は無限大であり、その逆数は無限小である。 の語はが1948年に導入した〔Keisler (1994).〕。 超実数は（ライプニッツの経験則的なを厳密なものにした）を満たす。この移行原理が主張するのは、 についての一階述語論理の真なる主張は においても真であることである。例えば、加法の可換則 は、実数におけると全く同様に、超実数に対しても成り立つ。また例えば はであるから、 も実閉体である。また、任意の整数 に対して が成立するから、任意の に対しても が成立する。超冪に対する移行原理は1955年のの帰結である。 無限小を含むような論法の健全性に対する関心は、アルキメデスがそのような証明を取り尽くし法など他の手法によって置き換えた、古代ギリシャ時代の数学にまで遡る。1960年代にロビンソンは、超実数体が論理的に無矛盾であることと実数体が論理的に無矛盾であることが同値であることを示した。ロビンソンが描写した論理規則によると、無限小が関わるいかなる証明も不健全であり、巧みに操られたものではないかという懸念がでてきた。 超実数の応用、特に解析学における諸問題への移行原理の適用は超準解析と呼ばれる。一つの例は、微分や積分のような解析学の基礎概念を複数の量化子を用いる論理的複雑さを回避して直接的に定義することである。つまり、 の導関数は、 : になる。 ただし、 は無限小超実数で、 とは有限超実数から実数への関数で、「有限超実数にそれに無限に近いただ一つの実数への関数」というである。積分も同様に、適切な無限和の標準部によって定義される。 == 移行原理 == 超実数の体系のアイデアは、実数の集合 を拡張し、代数の基本公理を変更することなく無限小や無限大を含む体系 を構成するというものである。「任意の数 に対し～」という形のいかなる主張も、実数にとって真であれば超実数にとっても真である。例えば「任意の数 に対し 」という公理にもあてはまる。複数の変数に対する量化、例えば「任意の数 に対しても、」などでも同じことが成り立つ。 この「実数体に対する主張を超実数体に対して引き移す」ことができるということをという。ただし「いかなる数の集合 に対しても～」という形の主張は引き継ぐことができない。実数と超実数とが区別される唯一の性質は、典型的には集合とは関係なく構成できる、関数や関係のような集合やその他の高位の構造や上の量化に依るものである。 実数の集合や関数、関係は、全く同じ一階の性質をもつその自然な超実数への拡張を持つ。量化の制限に従うこの種類の論理的文は、一階述語論理における主張について述べられる。 しかしながら、移行原理は、 と とが全く同一の振る舞いを持つということを意味しない。例えば、 において、次のような性質をもつ元 が存在する（即ち は非アルキメデス的である）： : しかし、 にはそのような元は存在しない。これは、 が存在しないことは一階論理の主張では表現することができないから、起こりうるのである。 実数の集合や関数、関係は、全く同じ一階の性質をもつその自然な超実数への拡張を持つ。量化の制限に従うこの種類の論理的文は、一階述語論理における主張について述べられる。 しかしながら、移行原理は、 と とが全く同一の振る舞いを持つということを意味しない。例えば、 において、次のような性質をもつ元 が存在する（即ち は非アルキメデス的である）： : しかし、 にはそのような元は存在しない。これは、 が存在しないことは一階論理の主張では表現することができないから、起こりうるのである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「超実数」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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