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解析学における指数関数（しすうかんすう、 ）は、冪乗における冪指数 () を変数として、その定義域を主に実数の全体へ拡張して定義される初等超越関数の一種である。対数関数の逆関数であるため、逆対数 () と呼ばれることもある〔MSDN の Exp 関数の解説 〕〔"Inverse Use of a Table of Logarithms; that is, given a logarithm, to find the number corresponding to it, (called its antilogarithm)…" – p. 12 of 〕。自然科学において、指数函数は量の増加度に関する数学的な記述を与えるものとして用いられる（を参照）。一般に、 かつ なる定数 に関して、（主に実数の上を亙る）変数 を へ送る函数は、「」と呼ばれる。「指数函数」との名称は、与えられた底に関して冪指数を変数とする函数であることを示唆するものであり、冪指数を固定して底を独立変数とする () とは対照的である。 しばしば、より狭義の函数を意図して単に「指数函数」と呼ぶこともある。そのような標準的な (the) 指数函数（あるいはより明示的に「自然指数函数」）〔英語で exponential function と ''the'' exponential function とを区別することがあるように、ドイツ語では一般の底に関する指数函数を （指数の函数）、自然指数函数を のように区別することもある。 〕はネイピア数 を底とする函数 である。これを のようにも書く。この函数は、導函数が自分自身に一致するなど、他の指数函数と比べて著しい性質を持つ。底 を他の底 に取り換えるには自然対数 を用いて、等式 : を適用すればよいから、以下本項では主に自然指数函数について記述し、多くの場合「指数函数」は自然指数函数の意味で用いる。 == 歴史と概観 == ある量の変化（増大または減少）率がその量の現在値に比例するというような状況において、指数函数は生じてくる（指数函数的増大または指数函数的減少）。 そのような例として、連続的複利計算があり、実はヤコブ・ベルヌイが においてこのような複利計算から今日 と書かれる数 : を導いている。後の1697年にヨハン・ベルヌイが指数函数の解析学を研究している〔。元本 に対して年 の割合で金利を得る複利を考えると、得られる利息は毎月現在値に だから、総額は毎月 倍となり一年で となる。あるいは、毎日金利を得るものとすれば である。さらに間隔を短くして年間に金利を得る回数を限りなく増やした極限として、指数函数の定義 : を与えた最初の人はオイラーである〔。これは数ある指数函数の特徴付けの一つであり、ほかにも冪級数や微分方程式を用いた定義などがある。 何れの定義に従ったとしても、指数函数は指数法則と呼ばれる基本的な関係式 : を満たすから、指数函数を冪乗の記法を以って と書くこともある。 指数函数の変化率、即ち導函数は指数函数自身に一致する。より一般に、変化率が自分自身と（そのものではなく）比例するという性質を持つ函数は、指数函数を用いて表すことができる。函数のこのような性質は指数函数的増加や指数函数的減少と呼ばれる。 指数函数は複素数平面上の整函数に拡張される。オイラーの公式は指数函数の純虚数における値と三角函数を関係付ける。同様に、指数函数は行列変数やより一般のバナハ環に値を取る変数などに対しても定義される。あるいはリー理論における指数写像に一般化される。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「指数関数」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Exponential function 」があります。 スポンサード リンク
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