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集合論における連続体濃度（れんぞくたいのうど、）とは、実数全体の成す集合 R の濃度（あるいは基数、集合の「大きさ」の尺度）のことである。連続体濃度を持った集合を連続体 と呼ぶこともある。これは無限濃度のひとつであり、|R|, 2ℵ0（ℵはヘブライ文字のアレフ）, または （ドイツ文字小文字の ''c''）などの記号で表される。 == 概要 == 実数の全体 Rは自然数の全体 N の冪集合の元と同じ数の元をもつ。さらに、これらの集合は N 自身よりも多くの元を含む（#連続濃度の非可算性節を見よ）。このことはゲオルク・カントールによって1874年に初めて示され、無限の尺度に異なる階層があることを確立した研究の嚆矢となった。後に、カントールはより簡明な対角線論法による証明も与えている。 連続体濃度を持つ集合には以下のような例がある。二つの異なる実数 ''a'' < ''b'' を取ったとき、これらの値がどんなに近い場合でも、開区間 (''a'',''b'')は R と同じ濃度の実数が含まれている。また、任意次元のユークリッド空間 R''n'' も R と同じ濃度を持つ（濃度の演算）。これらのことは以下の式で表される。 : 他の例については#連続体濃度をもつ集合節を参照のこと。 可算濃度 ℵ0 = |N| と連続体濃度との間に、これらと異なる濃度が存在するかという問題は、カントールによって連続体仮説として提起された。クルト・ゲーデルおよびポール・コーエンの研究によって、連続体仮説自体はその否定も肯定も集合論の標準的な公理系 ZFC との間に矛盾を引き起こさないことが示された。詳しくは#連続体仮説節および連続体仮説を参照のこと。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「連続体濃度」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Cardinality of the continuum 」があります。 スポンサード リンク
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