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===================================== 〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。 ・ 部分 ： [ぶぶん] 【名詞】 1. portion 2. section 3. part ・ 分 ： [ぶん, ふん] 1. (n,n-suf,pref) (1) part 2. segment 3. share 4. ration 5. (2) rate 6. (3) degree 7. one's lot 8. one's status 9. relation 10. duty 1 1. kind 12. lot 13. (4) in proportion to 14. just as much as 1 ・ 環 ： [わ, かん] 【名詞】 1. circle 2. ring 3. link 4. wheel 5. hoop 6. loop
数学における部分環（ぶぶんかん、）は、環 ''R'' の部分集合 ''S'' で、''R'' の加法と乗法をそこに制限するときそれ自身が環となり、かつ ''R'' の単位元を含むものを言う。単位元を持つことを仮定しない場合には、''R'' の演算の制限で ''S'' が環を成すことのみを以って部分環を定義する（この場合も自動的に ''S'' は ''R'' の加法単位元を含む）。後者は前者よりも弱い条件であり、例えば任意のイデアルは（たとえ乗法的単位元を持つ環においても）後者の意味の部分環になる（この部分環が、もとの環とは異なる乗法単位元を持つ場合もあり得る）。（本項で扱う）単位元の存在を定義に含める場合には、''R'' の部分環となるようなイデアルは ''R'' 自身に限る。 == 定義といくつかの事実 == 環 の部分環とは、''R'' の部分集合 ''S'' で環構造を保存するものを言う。即ち は環であり を満足する。同じことだが、加法群 の部分群かつ乗法モノイド の部分モノイドとなるものということもできる。 整数環 Z およびその剰余類環 Z/''n''Z は、それ自身以外の（単位元を共有する）部分環を持たない。 任意の環は、適当な非負整数 ''n'' に対する環 Z/''n''Z に同型な、最小の部分環をただ一つ持つ。ただし、この場合整数環 Z は に対応するものとする（Z は Z/0Z に同型）。 は、任意の環 ''R'' に対して、''R'' の部分集合が部分環となるのはそれが ''R'' の加法単位元を含み、かつ減法と乗法に関して閉じている場合に限ることを述べる。 例として、整数環 Z は、実数体 R の部分環であり、また多項式環 の部分環でもある。 任意の環は、適当な非負整数 ''n'' に対する環 Z/''n''Z に同型な、最小の部分環をただ一つ持つ。ただし、この場合整数環 Z は に対応するものとする（Z は Z/0Z に同型）。 は、任意の環 ''R'' に対して、''R'' の部分集合が部分環となるのはそれが ''R'' の加法単位元を含み、かつ減法と乗法に関して閉じている場合に限ることを述べる。 例として、整数環 Z は、実数体 R の部分環であり、また多項式環 の部分環でもある。 R の部分環であり、また多項式環 の部分環でもある。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「部分環」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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