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===================================== 〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。 ・ 部分 ： [ぶぶん] 【名詞】 1. portion 2. section 3. part ・ 分 ： [ぶん, ふん] 1. (n,n-suf,pref) (1) part 2. segment 3. share 4. ration 5. (2) rate 6. (3) degree 7. one's lot 8. one's status 9. relation 10. duty 1 1. kind 12. lot 13. (4) in proportion to 14. just as much as 1 ・ 指 ： [ゆび] 【名詞】 1. finger ・ 指数 ： [しすう] 【名詞】 1. index 2. index number 3. exponent (e.g., in floating-point representation) ・ 数 ： [すう, かず] 1. (n,n-suf) number 2. figure
数学、とくに群論において、群 ''G'' における部分群 ''H'' の指数 (index) は ''G'' における ''H'' の「相対的な大きさ」である。同じことだが、''G'' を埋め尽くす ''H'' の「コピー」（剰余類) の個数である。例えば、''H'' が ''G'' において指数 2 をもてば、直感的には ''G'' の元の「半分」は ''H'' の元である。''H'' の ''G'' における指数は通常 |''G'' : ''H''| あるいは 正式には、''H'' の ''G'' における指数は ''H'' の ''G'' における剰余類の個数として定義される。（''H'' の ''G'' における左剰余類の個数はつねに右剰余類の個数と等しい。）例えば、Z を整数のなす加法群とし、2Z を偶数全体からなる Z の部分群とする。すると 2Z は Z において2つの剰余類（すなわち偶数全体と奇数全体）をもち、したがって 2Z の Z における指数は 2 である。一般化すると、任意の正の整数 ''n'' に対して : である。 ''N'' が ''G'' の正規部分群であれば、''G'' における ''N'' の指数はまた商群 ''G'' / ''N'' の位数にも等しい、なぜならばこれは ''G'' における ''N'' の剰余類の集合における群構造の言葉で定義されるからである。 ''G'' が無限であれば、部分群 ''H'' の指数は一般には 0 でない基数になる。上の例が示すように、それは有限 - つまり、正の整数 - かもしれない。 ''G'' と ''H'' が有限群であれば、''H'' の ''G'' における指数は 2 つの群の位数の商に等しい： : これはラグランジュの定理であり、この場合商は必ず正の整数である。 ==性質== * ''H'' が ''G'' の部分群で ''K'' が ''H'' の部分群であれば、 :: * ''H'' と ''K'' が ''G'' の部分群であれば、 :: : ''HK'' = ''G'' ならば等号成立。（ |''G'' : ''H'' ∩ ''K''| が有限であれば、等号成立 ⇔ ''HK'' = ''G''。） * 同じことだが、''H'' と ''K'' が ''G'' の部分群であれば、 :: : ''HK'' = ''G'' ならば等号成立。（ |''H'' : ''H'' ∩ ''K''| が有限であれば、等号成立 ⇔ ''HK'' = ''G''。） * ''G'' と ''H'' が群で ''φ'': ''G'' → ''H'' が準同型であれば、''φ'' の核の ''G'' における指数は像の位数に等しい： :: * ''G'' を集合 ''X'' に作用している群とし、''x'' ∈ ''X'' とする。このとき ''G'' のもとでの ''x'' の軌道の濃度は ''x'' の固定部分群 (stabilizer) の指数に等しい： :: :これは orbit-stabilizer theorem として知られている。 * orbit-stabilizer theorem の特別な場合として、元 ''x'' ∈ ''G'' 共役 ''gxg''−1 の個数は ''G'' における ''x'' の中心化群の指数に等しい。 * 同様に、''G'' において部分群 ''H'' の共役 ''gHg''−1 の個数は ''G'' における ''H'' の正規化群の指数に等しい。 * ''H'' が ''G'' の部分群であれば、''H'' の正規核の指数は以下の不等式を満たす： :: :ただし ! は階乗関数を表す。これは以下でさらに議論される。 : * 系として、''G'' における ''H'' の指数が 2 であれば、あるいは有限群に対して ''G'' の位数を割り切る最小の素数 ''p'' であれば、''H'' は正規である、なぜならばその核の指数もまた ''p'' でなければならず、したがって ''H'' はその核に等しい、すなわち正規である。 : * 最小素数の部分群は存在しないかもしれないことに注意しよう。例えば非素数位数の任意の単純群やより一般に任意の :en:perfect group。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「部分群の指数」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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