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数学において、調和平均（ちょうわへいきん、）はいくつかの種類がある平均のうちの1つである。典型的には、 (rate) の平均が望まれているような状況で調和平均が適切である。 正の実数 調和平均 は逆数の算術平均の逆数である。つまり、 : と定義される。上の方程式の第三の式から、調和平均は算術平均や幾何平均に関係していることがより明白である。 簡単な例として、, , の調和平均は : である。 ==他の平均との関係== 調和平均は 3 つのの 1 つである。どんな''正の''データ集合に対しても、調和平均は常に 3 つの平均のうち最小であり、算術平均は常に最大であり幾何平均は常に間にある。（空でないデータ集合のすべての値が等しければ、3 つの平均は常に互いに等しい； 例えば、 の調和、幾何、算術平均はすべて 2 である。） 調和平均はの特別な場合 ''M''−1 である。 数のリストの調和平均はリストの最小の元に強く向かう傾向にあるから、（算術平均に比べて）大きい外れ値の影響を和らげ小さい外れ値の影響を重くする傾向にある。 算術平均はしばしば誤って調和平均が必要なところで用いられる〔 *''Statistical Analysis'', Ya-lun Chou, Holt International, 1969, ISBN 0030730953〕。例えば下のスピードの例において 50 という算術平均は正しくない、大きすぎる。 調和平均は上の等式の三番目の式においてみられるように他のピタゴラス平均と関係する。これは分母を数の積の算術平均 ''n'' 回ただし各回で ''j'' 番目の項を省いたものと解釈すれば気付かれる。つまり、最初の項に対して、すべての ''n'' 個の数から最初を除いたものを掛け、二番目は、''n'' 個の数から二番目を除いたものすべてを掛け、などなど。''n'' を除外して算術平均と一緒に行く分子は、幾何平均の ''n'' 乗である。したがって ''n'' 次調和平均は ''n'' 次幾何平均と算術平均に関係する。 3 つの正の数 ''H'', ''G'', ''A'' がそれぞれ 3 つの正の数の調和、幾何、算術平均であることと次は同値である〔''Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”'', .〕 : 同一でない数の集合が mean-preserving spread を受けていれば — つまり、集合の 2 つあるいはもっとの元が算術平均を変えないまま互いに "spread apart" であれば — 調和平均は常に減少する〔Mitchell, Douglas W., "More on spreads and non-arithmetic means," ''The Mathematical Gazette'' 88, March 2004, 142-144.〕。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「調和平均」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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