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数学の位相空間論周辺分野における離散空間（りさんくうかん、）は、その点がすべてある意味で互いに「孤立」しているような空間で、位相空間（またはそれと同様の構造）の非常に単純で極端な例の一つを与える。 == 定義 == ''X'' を集合とする。 * ''X'' 上の離散位相 とは、''X'' の任意の部分集合を ''X'' の開集合とすることによって定まる位相をいう（このとき全ての部分集合は閉集合にもなる）。''X'' が離散位相空間であるとは、それが離散位相を備えた位相空間であることをいう。 * ''X'' 上の離散一様系 とは、''X'' の対角集合 Δ = ⊂ ''X'' × ''X'' の任意の部分集合を近縁と定めることによって与えられる一様系をいう。''X'' が離散一様空間であるとは、それが離散一様系を備えた一様空間であることをいう。 * ''X'' 上の離散距離 ρ はで与えられる。このとき、距離空間 (''X'', ρ) は離散距離空間あるいは孤立点集合と呼ばれる。 * 距離空間 (''X'', ''d'') の部分集合 ''S'' が ''X'' において離散であるとは、''S'' の各点 ''x'' に対し、適当な δ > 0 が（''x'' ごとに）存在して、''x'' 以外の ''S'' の各点 ''y'' に対して ''d''(''x'', ''y'') > δ とできるときにいう。このような集合は孤立点から成る。また、部分集合 ''S'' が距離空間 ''X'' において一様離散であるとは、適当な定数 ε > 0 が存在して、''S'' の任意の相異なる二点に対して ''d''(''x'', ''y'') > ε とできるときにいう。 距離空間 (''E'', ''d'') が一様離散空間であるとは、適当な定数 ''r'' > 0 が存在して、''E'' の任意の二点 ''x'', ''y'' について、''x'' = ''y'' か ''d''(''x'', ''y'') > ''r'' のいづれかが成立することをいう。このとき、台となる距離空間の位相は、距離空間が一様離散であるにもかかわらず、離散位相になる。例えば、実数全体の成す集合の通常の距離に関して、集合 がそのような空間の例を与える。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「離散空間」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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