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測度論（そくどろん、 ）は、数学の実解析における一分野で、測度とそれに関連する概念（完全加法族、可測関数、積分等）を研究する。 ここで測度（そくど、 ）とは面積、体積、個数といった「大きさ」に関する概念を精緻化・一般化したものである。 よく知られているように積分は面積と関係があるので、積分（厳密にはルベーグ積分）も測度論を基盤にして定式化・研究できる。 また、測度の概念は確率を数学的に定式化する際にも用いられるため（コルモゴロフの公理）、 確率論や統計学においても測度論は重要である。 たとえば「''サイコロの目が偶数になる確率'' 」は目が 1, ..., 6 になるという 6 つの事象の集合の中で、2, 4, 6 という 3 つ分の「大きさ」を持っている為、 測度の概念で記述できる。 ==概説== 与えられた集合上の測度は 2 段階のステップで定義され、まずその集合の部分集合で測度が定義可能なもの(可測集合という)はどれであるかを決め、 次にそれらの部分集合に対し具体的に測度を定義する。 測度の定義は操作的・形式的に与えられ、必要とされる要件は空集合の測度が であることと、 個の な集合の測度の和がそれらの集合の和集合の測度と一致する事だけである。前述した面積、体積、個数がこれらの性質を満たすことは容易に確かめられる。 重要な事は上の定義で が可算個であってもよいという事である。 この事が測度論をベースにした積分の定義（ルベーグ積分）を従来の定義（リーマン積分）よりも使い易くしており、前者では適切な条件のもと積分と可算和の順番を交換できる事を保証できる（有界収束定理）が、後者の場合は同じ条件下であってもこの種の交換は有限和のときにしか保証されない。 また、測度の概念は、測度が定義できない集合の存在を許容している。 例えば 上の面積を測度とみなした場合、これはすなわち面積が定義できない集合が存在してもよい事を意味する（しかも実際にそのような集合は存在する）。 しかしながら面積を定義できない集合は通常の方法では作れない（そのような集合を作るには選択公理が必要である）ことが知られている為、 面積が定義できない集合があるという事実は、 上で測度論を展開する上であまり障害にならない。 ただし面積が定義できない集合が存在する事を利用すると、非常に不可解な性質を導くことができる事が知られている（バナッハ＝タルスキーのパラドックス）。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「測度論」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Measure (mathematics) 」があります。 スポンサード リンク
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