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数学における非可換幾何（ひかかんきか、noncommutative geometry）とは可換性が成り立たない（「積」について ''xy'' と ''yx'' が一致しない）ような代数構造に対する空間的・幾何学的な解釈を研究する分野である。通常の幾何学では様々な関数の積に関して可換性が要求されるが、その条件を外すことによってどんな現象がとらえられるかが追求される。 == 概要 == 20世紀における数学の発展の過程で、幾何学的なものである図形と、その上の関数のなす代数系のあいだに密接な関係があることが認識されるようになった。例えば、位相空間 ''X'' に対して ''X'' の上で連続な複素数値関数のなす環 ''C''(''X'') が対応するように、一般的に図形の上で定まるような関数たちは可換環をなす。さらに、（''X'' がコンパクトハウスドルフ空間であるときなど）多くの重要で妥当な状況設定のもとではじめに考えていた空間 ''X'' は関連づけられた関数たちのなす代数系から復元できることが知られている。したがって、一定の性質を持った図形に対応するような代数系を可換環の枠組みの中で公理的に特徴づけ、それらの代数系を考察することでもとの図形に関する幾何学的な情報を取り出すことができる。 一方、量子力学において物理量を互いに非可換な作用素として表すパラダイムを端緒として、関数解析学や数理物理学などの分野で仮想的な図形・空間上の関数たちを表すべき代数系として非可換な環が見いだされた。可換環と普通の幾何学的な図形との間の対応の類推から、非可換な環は通常の図形からの何らかの変形を表していると見なすことができる。この新しい非可換環のカテゴリーに対し、可換環から図形の情報を引き出すときに用いられた方法論を適用することで非可換環が表している仮想的な図形に対する幾何学的な情報を定式化することができる。こうして非可換な環から、それが表す「非可換空間」についての幾何学的な情報を得ることができるようになるが、このときを「空間」という言葉自体はもはや中間項としてしか存在していないことに注意しなければならない。 量子力学における物理量がヒルベルト空間上の有界線型作用素として表されるように、非可換空間に対応するべき非可換環の例ははじめ作用素環論によって多く与えられており、アラン・コンヌらにより作用素環論を中心とした非可換幾何が大きく発展させられているが、1980年代の量子群、1990年代の非可換代数幾何など作用素環論の枠組みを超えて数学の様々な分野で非可換な幾何学のパラダイムが発展させられている。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「非可換幾何」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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