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場の量子論において、非線型シグマモデル (nonlinear ''σ'' model) は、対象多様体と呼ばれる非線型多様体 ''T'' 上に値をとるスカラー場 である。非線型シグマモデルは により導入され、彼らのモデルの中の ''σ'' と呼ばれるスピンを持たないメソンに対応する場に因んで命名された。 ==概要== 対象多様体 ''T'' はリーマン計量 ''g'' を持つ。 はミンコフスキー空間 ''M'' から ''T'' への微分可能写像である。 このとき、現代のカイラル形式におけるラグランジアン密度は、 : で与えられる。ここに + − − − の計量符号を使い、偏微分 は ''T''×''M'' のの切断により与えられ、 はポテンシャルである。 ''n'' を ''T'' の次元とすると、座標 (''a'' = 1, ..., ''n'') での表記では、 : である。 2次元以上では、非線型シグマモデルはその次元と同じ結合定数を持つので、摂動的には繰り込み可能ではない。しかしながら、非線型シグマモデルは、格子による定式化においても、繰り込み群の非自明な紫外固定点を持つ。また、ケネス・ウィルソンにより元々の提案がなされている二重展開においても、繰り込み群の非自明な紫外固定点を持つ。 どちらのアプローチにおいても、O(''n'')-対称モデルの中の非自明な繰り込み群の固定点を見つけることができ、次元が 2より大きな場合は、秩序相と非秩序相を分離する臨界点を記述することができる。加えて、''O(n)'' モデルは物理的には(Heisenberg ferromagnet)や関連するモデルを記述するので、改良された格子理論や量子場理論の予想は(critical phenomena)についての実験と比較することができる。O(''n'') モデルはハイゼンベルグ強磁性と関連する物理系を記述ので、臨界現象の実験と比較することが可能である。従って、この系は 2次元にある O(''n'')-対称モデルの物理的振舞いを正確に記述するナイーブな摂動論が失敗し、格子定式化のようなより複雑な非摂動的な方法を必要としていることを示している。 このことは、有効場の理論としてのみ発生させることができることを意味する。対象多様体の曲率と同じオーダーをの 2点(connected correlation function)となる距離スケールの周囲に新しい物理を必要としている。このことを理論の(UV completion)と呼ぶ。非線型シグマモデルには内部対称群 ''G'' * を持つ特別なクラスが存在する。''G'' をリー群とし ''H'' をリー部分群とすると、商位相空間 ''G''/''H'' は（''H'' は閉部分集合であるというような、あるテクニカルな制限を入れて）多様体であり、かつ、''G'' の等質空間である。言い換えると、''G'' の(nonlinear realization)である。多くの場合、''G''/''H'' は ''G''−不変なリーマン計量を持つことができる。例えば、''G'' が(compact group)であれば、これは常に成立する。''G''-不変なリーマン計量と零ポテンシャルを備えた対象多様体として ''G''/''H'' を持つ非線型シグマモデルは、非線型シグマモデルの商空間（あるいは、コセット空間）と呼ばれる。 (path integral)を計算するとき、汎函数測度は ''g'' の行列式の平方根によって「重み付けられる」必要がある。 : 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「非線型シグマモデル」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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