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数学における順序体（じゅんじょたい、）は、その元が全順序付けられた体であって、その順序が体の演算と両立するものを言う。歴史的にはヒルベルト、ヘルダー、ハーンらを含む数学者たちによって徐々にぼんやりと公理化が進められ、1926年に順序体および（形式的）実体に関するアルティン-シュライヤー理論によって結実する。 順序体は標数 でなければならず、任意の自然数 は全て相異なる。従って順序体は無限個の元を含まねばならず、有限体は順序付けることができない。 順序体の任意の部分体は、もとの体の順序に関してそれ自身順序体を成す。任意の順序体は有理数体に同型な部分順序体を含む。任意の順序体は実数体に同型である。順序体において平方元は非負でなければならない。従って複素数体は（虚数単位 の平方が だから）順序付けることはできない。任意の順序体は実体である。 == 定義 == 順序群の定義の仕方には同値な二種類が存在する。歴史的に最初に考えられたのは、体構造と両立する全順序を与える定義で、これは二項術語としての順序 に関する一階の公理化である。アルティンとシュライヤーは1926年に（非負の元全体の成す部分集合としての）正錐を用いた定義を与えた。これは高階の公理化ではあるけれども、正錐を「極大」の前正錐と見る観点からは、体構造と両立する順序を「極値的」な半順序と見るより広い文脈が生み出される。 体 と 上の全順序 とが両立するとは、この順序が条件 * ならば * かつ ならば を満足するときに言う。乗法の記号はこれ以降は省略する。 体 の部分集合 が 上の前正錐 (''prepositive cone'') あるいは前順序付け (''preordering'') であるとは、条件 * ならば * ならば * を満足するときに言う〔Lam (2005) p. 289〕。前順序付け を持つ体を前順序体 (''preordered field'') と呼ぶ。 の非零元全体の成す集合 は の乗法群の部分群を成す。さらに加えて、前順序付け に対して、 が および の合併となるとき、 を の正錐 (''positive cone'') と言い、 の非零元を の正の (''positive'') 元と呼ぶ。 上の任意の前順序付けは、ちょうど 上の正錐の適当な族の交わりとして得られる。すなわち、正錐は極大な前順序付けである〔。前順序体 上の扇 (''fan'') とは、前順序付け であって、 が を含む ''F''∗ の指数 の部分群で、かつ を含まないならば が正錐となる（つまり ''S'' が加法について閉じている）という性質を満たすものを言う〔Lam (1983) p.39〕。 与えられた体が、体構造と両立する全順序を備えることと正錐を備えることとは同値であり、体上の両立する全順序と正錐の間の対応は以下のように与えられる。すなわち、両立する全順序 が与えられたとき なる元全体の成す部分集合 は の正錐を成す。逆に の正錐 が与えられたとき、付随する全順序 を で定義すれば、 は の体構造と両立する。 与えられた体 が順序体であるとは、それが体構造と両立する全順序、あるいは正錐を備えるときに言う。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「順序体」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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